Categoria pré-abeliana
Em matemática, especificamente em teoria das categorias, uma categoria pré-abeliana é uma categoria aditiva que tem todos os núcleos e conúcleos.
O exemplo original de uma categoria aditiva é a categoria Ab de grupos Abelianos. Ab é pré-aditiva porque é uma categoria monoidal fechada, o biproduto em Ab ié a soma direta finita, o núcleo é inclusão do núcleo ordinário da teoria de grupos e o conúcleo é o mapa quociente sobre o conúcleo ordinário da teoria de grupos. Estes dão uma ideia do que entende-se por categoria pré-abeliana; para mais exemplos, ver categoria Abeliana (cada categoria Abeliana é pré-Abeliana).
Cada categoria pré-Abeliana é, claro, uma categoria aditiva, e muitas propriedades básicas destas categorias são descritas sob aquele assunto. Este artigo se preocupa com as propriedades que existem exclusivamente por causa da existência de núcleos e conúcleos. Embora núcleos e conúcleos sejam tipos especiais de equalizadores e coequalizadores, uma categoria pré-Abeliana possui realmente todos equalizadores e coequalizadores. Simplesmente construímos o equalizador de dois morfismos f e g como o núcleo de sua diferença g − f; similarmente, seu coequalizador é o conúcleo de sua diferença. (O termo alternativo "núcleo de diferença" para equalizadores binários deriva deste fato.) Desde que categorias pré-Abelianas tem todos produtos finitos e coprodutos (os biprodutos) e todos os equalizadores binários e coequalizadfores (como descrito), então um teorema geral da teoria das categorias, eles tem todos os limites e colimites. Isto é, as categorias pré-Abelianas são finitamente completas.
