Categoria de Grothendieck
Na matemática, uma categoria de Grothendieck é um certo tipo de categoria abeliana, introduzida no artigo Tôhoku de 1957 de Alexander Grothendieck a fim de desenvolver o maquinário da álgebra homológica para módulos e para feixes de maneira unificada. A teoria dessas categorias foi posteriormente desenvolvida na tese de Pierre Gabriel de 1962.
Por definição, uma categoria de Grothendieck A {\displaystyle {\mathcal {A}}} é uma categoria AB5 com um gerador. Explicando detalhadamente, isso significa que O nome "categoria de Grothendieck" não apareceu no artigo Tôhoku de Grothendieck nem na tese de Gabriel; ele passou a ser usado na segunda metade da década de 1960 no trabalho de vários autores, incluindo Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst e Bodo Pareigis. (Alguns autores usam uma definição diferente, que não exige a existência de um gerador.)
Toda categoria de Grothendieck contém um cogerador injetivo. Por exemplo, um cogerador injetivo da categoria de grupos abelianos é o grupo quociente Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } . Todo objeto em uma categoria de Grothendieck A {\displaystyle {\mathcal {A}}} tem um envoltório injetivo em A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . Isso permite a construção de resoluções injetivas e, com isso, o uso das ferramentas da álgebra homológica em A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , a fim de definir functores derivados. (Note que nem todas as categorias de Grothendieck permitem resoluções projetivas para todos os objetos; exemplos incluem categorias de feixes de grupos abelianos em muitos espaços topológicos, como no espaço dos números reais.) Em uma categoria de Grothendieck, qualquer família de subobjetos ( U i ) {\displaystyle (U_{i})} de um dado objeto X {\displaystyle X} possui um supremo (ou "soma") ∑ i U i {\textstyle \sum _{i}U_{i}} bem como um ínfimo (ou "interseção") ∩ i U i {\displaystyle \cap _{i}U_{i}} , ambos sendo novamente subobjetos de X {\displaystyle X} . Além disso, se a família ( U i ) {\displaystyle (U_{i})} for direcionada (ou seja, para quaisquer dois objetos na família, existe um terceiro objeto na família que contém os dois), e V {\displaystyle V} for outro subobjeto de X {\displaystyle X} , teremos
Tipos especiais de objetos e categorias de Grothendieck
Um objeto X {\displaystyle X} em uma categoria de Grothendieck é chamado de finitamente gerado se, sempre que X {\displaystyle X} for escrito como a soma de uma família de subobjetos de X {\displaystyle X} , ele já for a soma de uma subfamília finita. (No caso A = Mod ( R ) {\displaystyle {\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)} de categorias de módulos, essa noção é equivalente à noção familiar de módulos finitamente gerados.) Imagens epimórficas de objetos finitamente gerados são novamente finitamente geradas. Se U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} e tanto U {\displaystyle U} quanto X / U {\displaystyle X/U} forem finitamente gerados, então X {\displaystyle X} também será. O objeto X {\displaystyle X} é finitamente gerado se, e somente se, para qualquer sistema direcionado ( A i ) {\displaystyle (A_{i})} em A {\displaystyle {\cal {A}}} no qual cada morfismo é um monomorfismo, o morfismo natural lim → H o m ( X , A i ) → H o m ( X , lim → A i ) {\displaystyle \varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})} for um isomorfismo. Uma categoria de Grothendieck não precisa conter nenhum objeto finitamente gerado não nulo.
