Teoria das categorias superiores

Uma categoria comum possui objetos e morfismos, que são chamados de 1-morfismos no contexto da teoria das categorias superiores. Uma 2-categoria generaliza isso incluindo também 2-morfismos entre os 1-morfismos. Continuar esse processo até n-morfismos entre (n − 1)-morfismos resulta em uma n-categoria. Assim como a categoria conhecida como Cat, que é a categoria das categorias pequenas e funtores, é na verdade uma 2-categoria com as transformações naturais servindo como seus 2-morfismos, a categoria n-Cat de n-categorias (pequenas) é na verdade uma (n + 1)-categoria. Uma n-categoria é definida por indução em n como: Portanto, uma 1-categoria é apenas uma categoria (localmente pequena). A estrutura monoidal de Set (conjuntos) é aquela dada pelo produto cartesiano como tensor e um conjunto unitário como unidade. De fato, qualquer categoria com produtos finitos pode receber uma estrutura monoidal. A construção recursiva de n-Cat funciona bem porque, se uma categoria C {\displaystyle C} possui produtos finitos, a categoria de categorias enriquecidas sobre C {\displaystyle C} também possui produtos finitos.

Em n-categorias fracas, a associatividade e as condições de identidade não são mais estritas (isto é, não são dadas por igualdades exatas), mas são satisfeitas a menos de um isomorfismo do próximo nível. Um exemplo na topologia é a composição de caminhos, onde a identidade e as condições de associação valem apenas a menos de reparametrização e, consequentemente, a menos de homotopia, que atua como o 2-isomorfismo para esta 2-categoria. Esses n-isomorfismos devem se comportar bem entre os conjuntos hom (hom-sets), e expressar isso é a grande dificuldade na definição das n-categorias fracas. As 2-categorias fracas, também chamadas de bicategorias, foram as primeiras a serem definidas explicitamente. Uma particularidade delas é que uma bicategoria com um único objeto é exatamente uma categoria monoidal, de modo que pode-se dizer que bicategorias são "categorias monoidais com muitos objetos". As 3-categorias fracas, também chamadas de tricategorias, e as generalizações de níveis superiores são cada vez mais difíceis de definir explicitamente. Várias definições foram propostas, e determinar quando elas são equivalentes, e em que sentido, tornou-se um novo objeto de estudo na teoria das categorias.

Complexos de Kan fracos, ou quase-categorias, são conjuntos simpliciais que satisfazem uma versão fraca da condição de Kan. André Joyal mostrou que eles são uma boa base para a teoria das categorias superiores ao construir a estrutura de modelo de Joyal na categoria dos conjuntos simpliciais, cujos objetos fibrantes são exatamente as quase-categorias. Recentemente, em 2009, a teoria foi ainda mais sistematizada por Jacob Lurie, que as chama simplesmente de ∞ {\displaystyle \infty } -categorias (categorias infinito), embora este último termo também seja um rótulo genérico para todos os modelos de ( ∞ {\displaystyle \infty } , k)-categorias para qualquer k.

Categorias enriquecidas simplicialmente, ou categorias simpliciais, são categorias enriquecidas sobre conjuntos simpliciais. No entanto, quando as consideramos como um modelo para ( ∞ {\displaystyle \infty } , 1)-categorias, muitas noções categóricas (por exemplo, limites) não concordam com as noções correspondentes no sentido das categorias enriquecidas. O mesmo se aplica a outros modelos enriquecidos, como as categorias topologicamente enriquecidas.

Categorias topologicamente enriquecidas (às vezes chamadas simplesmente de categorias topológicas) são categorias enriquecidas sobre alguma categoria conveniente de espaços topológicos, por exemplo, a categoria de espaços de Hausdorff fracos compactamente gerados.

Estas são modelos de categorias superiores introduzidas por Hirschowitz e Simpson em 1998, inspiradas em parte pelos resultados de Graeme Segal em 1974.