Categoria monoidal
Em matemática, uma categoria monoidal é uma categoria equipada com um bifuntor :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }
Uma categoria monoidal é uma categoria C {\displaystyle \mathbf {C} } equipada com uma estrutura monoidal. Uma estrutura monoidal consiste no seguinte: Note que uma boa forma de lembrar como λ {\displaystyle \lambda } e ρ {\displaystyle \rho } atuam é pela aliteração com o inglês: *Lambda* ( λ {\displaystyle \lambda } ) cancela a identidade à esquerda (*left*), enquanto *Rho* ( ρ {\displaystyle \rho } ) cancela a identidade à direita (*right*). As condições de coerência para essas transformações naturais são: Uma categoria monoidal estrita é aquela para a qual os isomorfismos naturais α, λ e ρ são identidades. Toda categoria monoidal é monoidalmente equivalente a uma categoria monoidal estrita.
Segue das três condições de coerência definidoras que uma grande classe de diagramas (ou seja, diagramas cujos morfismos são construídos usando α {\displaystyle \alpha } , λ {\displaystyle \lambda } , ρ {\displaystyle \rho } , identidades e produto tensorial) comutam: este é o "teorema de coerência" de Mac Lane. Às vezes é incorretamente afirmado que todos esses diagramas comutam. Existe uma noção geral de objeto monoide em uma categoria monoidal, que generaliza a noção comum de monoide da álgebra abstrata. Monoides comuns são precisamente os objetos monoides na categoria monoidal cartesiana Set. Além disso, qualquer categoria monoidal estrita (pequena) pode ser vista como um objeto monoide na categoria de categorias Cat (equipada com a estrutura monoidal induzida pelo produto cartesiano). Funtores monoidais são os funtores entre categorias monoidais que preservam o produto tensorial e transformações naturais monoidais são as transformações naturais, entre esses funtores, que são "compatíveis" com o produto tensorial.
Categoria monoidal estrita livre
Para toda categoria C, a categoria monoidal estrita livre Σ(C) pode ser construída da seguinte forma: Esta operação Σ mapeando a categoria C para Σ(C) pode ser estendida para uma 2-mônade estrita em Cat.
Monoides pré-ordenados
Um monoide pré-ordenado é uma categoria monoidal na qual para quaisquer dois objetos c , c ′ ∈ O b ( C ) {\displaystyle c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )} , existe no máximo um morfismo c → c ′ {\displaystyle c\to c'} em C. No contexto de pré-ordens, um morfismo c → c ′ {\displaystyle c\to c'} é por vezes notado c ≤ c ′ {\displaystyle c\leq c'} . As propriedades de reflexividade e transitividade de uma ordem, definidas no sentido tradicional, são incorporadas na estrutura categórica pelo morfismo identidade e pela fórmula de composição em C, respectivamente. Se c ≤ c ′ {\displaystyle c\leq c'} e c ′ ≤ c {\displaystyle c'\leq c} , então os objetos c , c ′ {\displaystyle c,c'} são isomorfos, o que é notado c ≅ c ′ {\displaystyle c\cong c'} .
