Conjunto denso
Em topologia, um subconjunto S de um espaço topológico X diz-se denso em X, se o fecho de S é igual a X, isto é, todo ponto de X é um ponto limite de S, ou equivalentemente, S é denso em X se qualquer vizinhança de qualquer ponto de X contiver um elemento de S.
Imagem: PROYECTO AGUA** /** WATER PROJECT · BY-NC-SA · Openverse
Seja X {\displaystyle X} um espaço métrico, S {\displaystyle S} um subconjunto de X {\displaystyle X} . Se a topologia de X {\displaystyle X} é induzida pela métrica, o fecho de S {\displaystyle S} é definido pela união de todos os seus pontos limites S ¯ = S ∪ { lim n → ∞ a n ∣ a n ∈ S para todo n ∈ N } {\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}\mid a_{n}\in S{\text{ para todo }}n\in \mathbb {N} \right\}} e S {\displaystyle S} é denso em X {\displaystyle X} se S ¯ = X {\displaystyle {\overline {S}}=X} . Para um espaço topológico X qualquer, o fecho de S pode ser definido como o menor conjunto fechado S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} tal que S ⊆ S ¯ {\displaystyle S\subseteq {\overline {S}}} , e um conjunto S é denso em X se não existe um subconjunto C próprio fechado de X tal que S ⊆ C {\displaystyle S\subseteq C} .
