Relação transitiva
Na matemática, relação transitiva é a que se estabelece entre três elementos de um mesmo conjunto de tal forma que se o primeiro tem relação com o segundo e este tem relação com um terceiro, então o primeiro elemento tem relação com o terceiro.
Fechamento de propriedades
O inverso de uma relação transitiva é sempre transitivo: por exemplo, sabendo que "é um subconjunto de" é transitiva e "é um superconjunto de" é o inverso, pode-se concluir que o último é transitiva. A intersecção de duas relações transitivas é sempre transitivo: sabendo que "nasceu antes" e "tem o mesmo primeiro nome como" são transitórias, podemos concluir que "nasceu antes e também tem o mesmo primeiro nome que" é também transitória. A união de duas relações transitivas não é sempre transitória. Por exemplo, "nasceu antes ou tem o mesmo primeiro nome como" geralmente não é uma relação transitiva. O complemento de uma relação transitiva não é sempre transitória. Por exemplo, enquanto "igual a" é transitiva, "não é igual a" é apenas transitória em conjuntos com mais de um elemento.
Outras propriedades
Uma relação transitiva é assimétrica , se e somente se ela é relação reflexiva.
Nenhuma fórmula geral que conta o número de relações transitivas em um conjunto finito (sequência A006905 na OEIS) é conhecido. No entanto, não existe uma fórmula para achar o número de relações que são, simultaneamente, reflexiva, simétrica e transitiva – em outras palavras, relações de equivalência – (sequência A000110 na OEIS), aqueles que são simétricas e transitivas, aqueles que são simétricas, transitivas, e anti simétrica, e aqueles que são total, transitória, e anti simétrica. Pfeiffer tem feito alguns progressos neste sentido, expressando relações com combinações dessas propriedades em termos de cada um dos outros, mas ainda calcular é bastante difícil. Consulte também.
