Combinação
Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, é um subconjunto com elementos em um conjunto com elementos. Como é um conjunto, não há repetição de membros dentro do conjunto.
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Aplicando a formula abaixo ao exemplo acima temos: C 2 4 = ( 4 2 ) = 4 ! 2 ! ⋅ ( 4 − 2 ) ! {\displaystyle C_{2}^{4}={4 \choose 2}={\frac {4!}{2!\cdot \left(4-2\right)!}}} = {\displaystyle =} ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) ( 2 ⋅ 1 ) ⋅ ( 2 ⋅ 1 ) = 24 4 = 6 {\displaystyle {\frac {\left(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\right)}{\left(2\cdot 1\right)\cdot \left(2\cdot 1\right)}}={\frac {24}{4}}=6} combinações diferentes
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A fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte: C s n = ( n s ) = n ! s ! ⋅ ( n − s ) ! {\displaystyle C_{s}^{n}={n \choose s}={\frac {n!}{s!\cdot \left(n-s\right)!}}} Onde s deve ser um número natural. Então: ( n s ) = ( n n − s ) {\displaystyle {n \choose s}={n \choose n-s}} Significado das variáveis ou incógnitas na fórmula: s (do inglês set: conjunto) é o número de elementos escolhidos (parte); n é o número total de elementos (todo).
Dedução
O processo de dedução exige um conhecimento prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado. Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com s {\displaystyle s} elementos de n , {\displaystyle n,} é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de s {\displaystyle s} elementos de n {\displaystyle n} existem. A n s = n ! ( n − s ) ! {\displaystyle A_{n}^{s}={\frac {n!}{\left(n-s\right)!}}} Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os s {\displaystyle s} elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os s {\displaystyle s} elementos podem ser arranjados.
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No Triângulo de Pascal, é possível encontrar-se o valor de C n s {\displaystyle C_{n}^{s}} sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo, s {\displaystyle s} é o número da coluna e n , {\displaystyle n,} da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre binômios de Newton. O triângulo de Pascal é uma representação de uma grelha de números cujas linhas são iniciadas e terminadas pela unidade. Se adicionarmos dois números consecutivos numa linha de posição n então o número situado na linha de posição n + 1 é a soma desses números.
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Uma combinação C s n {\displaystyle C_{s}^{n}} só é possível quando n > 0 {\displaystyle n>0} e 0 ≤ s ≤ n . {\displaystyle 0\leq {s}\leq {n}.}
