Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde representa o número da linha e representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero. Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar Caiame do século XII o utiliza para descobrir raízes n-ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Pedro Apiano no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria das probabilidades. O triângulo também pode ser representado como:
Relação de Stifel
Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima. ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) = ( n k ) {\displaystyle {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}} 0 1 2 3 4 5 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 ¯ _ 4 ¯ _ 1 5 1 5 10 10 ¯ _ 5 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} \\\mathbf {0} &1&&&&&\\\mathbf {1} &1&1&&&&\\\mathbf {2} &1&2&1&&&\\\mathbf {3} &1&3&3&1&&\\\mathbf {4} &1&4&{\underline {\overline {6}}}&{\underline {\overline {4}}}&1&\\\mathbf {5} &1&5&10&{\underline {\overline {10}}}&5&1\\\end{matrix}}} ( 4 2 ) + ( 4 3 ) = ( 5 3 ) 6 + 4 = 10 {\displaystyle {\begin{matrix}{4 \choose 2}&+&{4 \choose 3}&=&{5 \choose 3}\\&&&&\\6&+&4&=&10\end{matrix}}}
Soma de uma linha
A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a 2 n {\displaystyle 2^{n}} . 0 1 2 3 4 5 6 2 n 0 1 2 0 = 1 1 1 1 2 1 = 2 2 1 2 1 2 2 = 4 3 1 3 3 1 2 3 = 8 4 1 4 6 4 1 2 4 = 16 5 1 5 10 10 5 1 2 5 = 32 6 1 6 15 20 15 6 1 2 6 = 64 {\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} &\mathbf {2^{n}} \\\mathbf {0} &1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf {1} &1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\\mathbf {2} &1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf {3} &1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\\mathbf {4} &1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\\mathbf {5} &1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64}\end{matrix}}}
Soma de uma coluna
A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação ( n n ) + ( n + 1 n ) + . . . + ( n + k n ) = ( n + k + 1 n + 1 ) {\displaystyle {n \choose n}+{n+1 \choose n}+...+{n+k \choose n}={n+k+1 \choose n+1}} . 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 ¯ _ 2 1 2 ¯ _ 1 3 1 3 ¯ _ 3 1 4 1 4 ¯ _ 6 4 1 5 1 5 10 10 ¯ _ 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} \\\mathbf {0} &1&&&&&&\\\mathbf {1} &1&{\underline {\overline {1}}}&&&&&\\\mathbf {2} &1&{\underline {\overline {2}}}&1&&&&\\\mathbf {3} &1&{\underline {\overline {3}}}&3&1&&&\\\mathbf {4} &1&{\underline {\overline {4}}}&6&4&1&&\\\mathbf {5} &1&5&10&{\underline {\overline {10}}}&5&1&\\\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1\end{matrix}}}
Simetria
O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma: 1 1 1 7 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 10 5 6 15 20 15 6 21 35 35 21 1 1 7 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}\end{matrix}}} Isso deve-se ao fato de que ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! = n ! ( n − k ) ! k ! = ( n n − k ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose n-k}}
Soma de uma diagonal
Conhecendo as fórmulas ( n n ) + ( n + 1 n ) + . . . + ( n + k n ) = ( n + k + 1 n + 1 ) {\displaystyle {n \choose n}+{n+1 \choose n}+...+{n+k \choose n}={n+k+1 \choose n+1}} (Soma de uma coluna) e ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! = n ! ( n − k ) ! k ! = ( n n − k ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose n-k}} (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: ( n 0 ) + ( n + 1 1 ) + . . . + ( n + k k ) = ( n + k + 1 k ) {\displaystyle {n \choose 0}+{n+1 \choose 1}+...+{n+k \choose k}={n+k+1 \choose k}} . 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 ¯ _ 1 2 1 2 ¯ _ 1 3 1 3 3 ¯ _ 1 4 1 4 6 4 ¯ _ 1 5 1 5 10 10 5 ¯ _ 1 6 1 6 15 20 15 ¯ _ 6 1 {\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} \\\mathbf {0} &1&&&&&&\\\mathbf {1} &{\underline {\overline {1}}}&1&&&&&\\\mathbf {2} &1&{\underline {\overline {2}}}&1&&&&\\\mathbf {3} &1&3&{\underline {\overline {3}}}&1&&&\\\mathbf {4} &1&4&6&{\underline {\overline {4}}}&1&&\\\mathbf {5} &1&5&10&10&{\underline {\overline {5}}}&1&\\\mathbf {6} &1&6&15&20&{\underline {\overline {15}}}&6&1\end{matrix}}}
Novas propriedades – Desigualdades
Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam: 1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central, localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20 > 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central. 1 1 1 7 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 10 5 6 15 20 15 6 21 35 35 21 1 1 7 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}\end{matrix}}}
