Cicloide

Antes da curva ser conhecida propriamente como cicloide, ela começou a ser estudada por Nicholas Cusa(1471 – 1464) e pelo teólogo matemático francês, Charles Bouvalles (1471 – 1553). O estudo de ambos não tratava da Cicloide em si, mas de algo muito similar a ela: a quadratura da circunferência. Em 1564, nasce o italiano Galileu Galilei, cientista, artista, com uma genialidade eminente. Como a história diz, Galileu um dia estava na janela, apenas observando o ambiente, quando começou a reparar no movimento da roda de uma charrete que passava. Interessado em descobrir que curva gerada por esse movimento, Galileu utilizou, primeiramente, chapas metálicas para demonstrá-la. Sem muito sucesso, Galileu sugeriu que a curva poderia formar um belo arco de uma ponte. Ele também concluiu que a área do arco da cicloide é exatamente três vezes a área do círculo que a gera. De fato, ele estava correto, o que foi demonstrado, posteriormente, por Roberval. Portanto, cabe a Galileu o batismo da curva.

A parametrização será feita pela decomposição de vetores. Para isso, será utilizado o Software Geogebra© como ferramenta de apoio para verificar o movimento da Cicloide com maior clareza. O parâmetro é θ {\displaystyle \theta } variando entre 0 ≤ θ ≤ 2 π , {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi ,} e a o raio da circunferência. Olhando para o “Passo 2” da Figura 1, os vetores estão indicados: Iremos escrever o vetor O P → {\displaystyle {\vec {OP}}} como: O P → = O C → + C P → {\displaystyle {\vec {OP}}={\vec {OC}}+{\vec {CP}}} Ao observar a Figura 2, verificamos que quando a circunferência gira um certo ângulo θ , {\displaystyle \theta ,} o comprimento do segmento OT é igual ao arco P T ^ , {\displaystyle {\widehat {PT}},} que nada mais é do que a θ , {\displaystyle a\theta ,} isto é: | O T | = A r c o P T ^ = a θ {\displaystyle \left\vert OT\right\vert =Arco{\widehat {PT}}=a\theta } Portanto, os vetores O C → {\displaystyle {\vec {OC}}} e C P → {\displaystyle {\vec {CP}}} são:

A construção da cicloide será feita por pontos, pois se trata de uma curva não construível com régua e compasso. Para se compreender tal construção, imagine que ao longo do período em que a circunferência geradora completa uma volta, sejam registrados flashes do seu movimento em diferentes intervalos de tempo, identificando algumas posições do ponto P gerador. Nas figuras seguintes, o comprimento do segmento P Q → {\displaystyle {\vec {PQ}}} é igual ao comprimento da circunferência geradora. Além disso, tanto P Q → {\displaystyle {\vec {PQ}}} quanto a circunferência estão divididos em oito partes iguais. Com raio P7 (ou P1) e centros em 1’ e 7’, traça-se arcos que determinam em s1 dois pontos da cicloide. Com raio P6 (ou P2) e centros em 2’ e 6’, traça-se arcos que determinam em s2 mais dois pontos. Com raio P5 (ou P3) e centros em 3’ e 5’, traça-se arcos que determinam em s3 mais dois pontos.

o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide encurtada.

Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide alongada.