Braquistócrona

A palavra braquistócrona vem do grego brakhistós (o mais curto) e khrónos (tempo).

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito. Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu irmão Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde). Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais rápido entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumenta segundo uma aceleração constante (a força da gravidade g). A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atracção terrestre pela fórmula: onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal. A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra: onde θ {\displaystyle \theta } representa o ângulo em relação à vertical e K {\displaystyle K} uma constante. Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões: 1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.

Considere uma curva suave λ {\displaystyle \lambda } no plano ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} unindo dois pontos fixos P 0 = ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle P_{0}=(x_{0};y_{0})} e P 1 = ( x 1 ; y 1 ) {\displaystyle P_{1}=(x_{1};y_{1})} . (Suponha que y 0 > y 1 {\displaystyle y_{0}>y_{1}} ). O tempo T {\displaystyle T} necessário para que uma partícula localizada na posição ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} percorra a curva λ {\displaystyle \lambda } de P 0 {\displaystyle P_{0}} até P 1 {\displaystyle P_{1}} é dado por T = ∫ 0 T d t = ∫ λ d s v {\displaystyle T=\int _{0}^{T}dt=\int _{\lambda }{\frac {ds}{v}}} Assumimos que a força gravitacional terrestre atua no sentido negativo do eixo y {\displaystyle y} . Assim, uma partícula localizada na posição ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} e que desliza ao longo de λ {\displaystyle \lambda } sob a força da gravidade terá energia cinética e energia potencial dadas respectivamente como 1 2 m v 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}} e m g y {\displaystyle mgy} , em que m {\displaystyle m} é a massa da partícula. Pela conservação de energia, temos

Para facilitar, vamos considerar , na seção de formalização do problema, P 0 = ( 0 ; 0 ) {\displaystyle P_{0}=(0;0)} e P 1 = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})} , assim adaptando (1), temos T ( λ ) = 1 2 g ∫ 0 x 1 1 + Y ′ ( z ) 2 Y ( z ) d z Y ( 0 ) = 0 , Y ( x 1 ) = y 1 . ( 2 ) {\displaystyle T(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{x_{1}}{\sqrt {\frac {1+Y'(z)^{2}}{Y(z)}}}dz\;\;\;\;\;\;\;Y(0)=0\;,Y(x_{1})=y_{1}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)} Agora, precisamos encontrar a função y {\displaystyle y} que minimize (2) , com as condições de fronteiras dadas. Considere então a função F ( x ; y ; y ′ ) = 1 + y ′ 2 y {\displaystyle F(x;y;y')={\dfrac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {y}}}} . Assim, F y ′ = y ′ y ( 1 + y ′ 2 ) {\displaystyle F_{y'}={\dfrac {y'}{\sqrt {y(1+y'^{2})}}}} . A condição necessária para termos um extremo para o funcional é dada pela equação de Euler-Lagrange ( F y − d d x F y ′ ) {\displaystyle (F_{y}-{\dfrac {d}{dx}}F_{y'})} ; como neste caso o funcional não depende de x {\displaystyle x} , tem-se ( F − y ′ F y ′ = K 1 ) {\displaystyle (F-y'F_{y'}=K_{1})} , e deste modo, temos