Álgebra simétrica

A álgebra simétrica é uma álgebra graduada. Ou seja, ela é uma soma direta onde S n ( V ) , {\displaystyle S^{n}(V),} chamada de n {\displaystyle n} -ésima potência simétrica de V {\displaystyle V} , é o subespaço vetorial ou submódulo gerado pelos produtos de n {\displaystyle n} elementos de V {\displaystyle V} . (A segunda potência simétrica S 2 ( V ) {\displaystyle S^{2}(V)} é às vezes chamada de quadrado simétrico de V {\displaystyle V} ). Isso pode ser provado de várias maneiras. Uma delas segue da construção da álgebra tensorial: como a álgebra tensorial é graduada, a álgebra simétrica é o seu quociente por um ideal homogêneo: o ideal gerado por todos os x ⊗ y − y ⊗ x , {\displaystyle x\otimes y-y\otimes x,} onde x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} estão em V {\displaystyle V} , ou seja, são homogêneos de grau um. No caso de um espaço vetorial ou módulo livre, a graduação é a graduação dos polinômios pelo grau total. Um módulo não livre pode ser escrito como L / M {\displaystyle L/M} , onde L {\displaystyle L} é um módulo livre de base B {\displaystyle B} ; a sua álgebra simétrica é o quociente da álgebra simétrica (graduada) de L {\displaystyle L} (um anel de polinômios) pelo ideal homogêneo gerado pelos elementos de M {\displaystyle M} , que são homogêneos de grau um.

Como a álgebra simétrica de um espaço vetorial é um quociente da álgebra tensorial, um elemento da álgebra simétrica não é um tensor e, em particular, não é um tensor simétrico. No entanto, os tensores simétricos estão fortemente relacionados à álgebra simétrica. Um tensor simétrico de grau n {\displaystyle n} é um elemento de T n ( V ) {\displaystyle T^{n}(V)} que é invariante sob a ação do grupo simétrico S n . {\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.} Mais precisamente, dado σ ∈ S n , {\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}_{n},} a transformação v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v n ↦ v σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( n ) {\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}} define um endomorfismo linear de T n ( V ) {\displaystyle T^{n}(V)} . Um tensor simétrico é um tensor que é invariante sob todos esses endomorfismos. Os tensores simétricos de grau n {\displaystyle n} formam um subespaço vetorial (ou módulo) Sym n ⁡ ( V ) ⊂ T n ( V ) {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}(V)\subset T^{n}(V)} . Os tensores simétricos são os elementos da soma direta ⨁ n = 0 ∞ Sym n ⁡ ( V ) , {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),} que é um espaço vetorial graduado (ou um módulo graduado). Esta soma não forma uma álgebra, visto que o produto tensorial de dois tensores simétricos não é simétrico em geral.

Dado um módulo V {\displaystyle V} sobre um anel comutativo K {\displaystyle K} , a álgebra simétrica S ( V ) {\displaystyle S(V)} pode ser definida pela seguinte propriedade universal: Como ocorre com toda propriedade universal, assim que uma solução existe, ela define unicamente a álgebra simétrica, a menos de um isomorfismo canônico. Segue-se que todas as propriedades da álgebra simétrica podem ser deduzidas da propriedade universal. Esta seção é dedicada às principais propriedades que pertencem à teoria das categorias. A álgebra simétrica é um functor da categoria dos K {\displaystyle K} -módulos para a categoria das K {\displaystyle K} -álgebras comutativas, visto que a propriedade universal implica que todo homomorfismo de módulos f : V → W {\displaystyle f:V\to W} pode ser estendido de forma única a um homomorfismo de álgebras S ( f ) : S ( V ) → S ( W ) . {\displaystyle S(f):S(V)\to S(W).}

Pode-se construir de forma análoga a álgebra simétrica num espaço afim. A principal diferença é que a álgebra simétrica de um espaço afim não é uma álgebra graduada, mas uma álgebra filtrada: pode-se determinar o grau de um polinômio num espaço afim, mas não as suas partes homogêneas. Por exemplo, dado um polinômio linear num espaço vetorial, pode-se determinar a sua parte constante avaliando-o em 0. Num espaço afim, não há um ponto distinto, de modo que não se pode fazer isso (escolher um ponto transforma um espaço afim num espaço vetorial).

Os S k {\displaystyle S^{k}} são functores comparáveis às potências exteriores; aqui, no entanto, a dimensão cresce com k {\displaystyle k} ; ela é dada por onde n {\displaystyle n} é a dimensão de V {\displaystyle V} . Este coeficiente binomial é o número de monômios de n {\displaystyle n} variáveis de grau k {\displaystyle k} . De fato, a álgebra simétrica e a álgebra exterior aparecem como as componentes isotípicas da representação trivial e de sinal da ação de S n {\displaystyle S_{n}} atuando no produto tensorial V ⊗ n {\displaystyle V^{\otimes n}} (por exemplo, sobre o corpo dos complexos).

A álgebra simétrica pode receber a estrutura de uma álgebra de Hopf. Veja Álgebra tensorial para mais detalhes.

A álgebra simétrica S ( V ) {\displaystyle S(V)} é a álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie abeliana, ou seja, uma na qual o colchete de Lie é identicamente 0.