Geometria algébrica dos espaços projetivos

Seja k um corpo algebricamente fechado e V {\displaystyle V} um espaço vetorial de dimensão finita sobre k. A álgebra simétrica do espaço vetorial dual V ∗ {\displaystyle V^{*}} é chamada de anel de polinômios sobre V {\displaystyle V} e denotada por k[ V {\displaystyle V} ]. É uma álgebra graduada naturalmente pelo grau dos polinômios. O Nullstellensatz projetivo afirma que, para qualquer ideal homogêneo I {\displaystyle I} que não contém todos os polinômios de um certo grau (referido como um ideal irrelevante), o lugar geométrico dos zeros comuns de todos os polinômios em I {\displaystyle I} (ou Nullstelle) é não trivial (isto é, o lugar geométrico dos zeros comuns contém mais do que o elemento único { 0 } {\displaystyle \{0\}} ) e, mais precisamente, o ideal de polinômios que se anulam nesse lugar geométrico coincide com o radical de um ideal I {\displaystyle I} . Esta última afirmação é melhor resumida pela fórmula: para qualquer ideal relevante I {\displaystyle I} ,

Seja V {\displaystyle V} um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo k. O esquema sobre k definido por Proj(k[ V {\displaystyle V} ]) é chamado de projetivização de V {\displaystyle V} . O espaço projetivo n {\displaystyle n} -dimensional sobre k é a projetivização do espaço vetorial A k n + 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+1}} . A definição do feixe é feita na base de conjuntos abertos principais D ( P ) {\displaystyle D(P)} , onde P {\displaystyle P} varia sobre o conjunto de polinômios homogêneos, definindo as seções como sendo o anel ( k [ V ] P ) 0 {\displaystyle (k[V]_{P})_{0}} , a componente de grau zero do anel obtido pela localização de um anel em P {\displaystyle P} . Seus elementos são, portanto, as funções racionais com numerador homogêneo e alguma potência de P {\displaystyle P} como denominador, com o mesmo grau que o numerador. A situação é mais clara numa forma linear φ {\displaystyle \varphi } que não se anula. A restrição do feixe estrutural ao conjunto aberto D ( φ ) {\displaystyle D(\varphi )} é então canonicamente identificada[nota 1] com o esquema afim spec(k[ker φ {\displaystyle \varphi } ]). Visto que os D ( φ ) {\displaystyle D(\varphi )} formam uma cobertura aberta de X {\displaystyle X} , os esquemas projetivos podem ser pensados como sendo obtidos pela colagem via projetivização de esquemas afins isomorfos.

A construção Proj, na verdade, fornece mais do que um mero esquema: um feixe de módulos graduados sobre o feixe estrutural é definido no processo. As componentes homogêneas desse feixe graduado são denotadas por O ( i ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(i)} , os feixes de torção de Serre. Todos esses feixes são, de fato, fibrados de linhas. Pela correspondência entre divisores de Cartier e fibrados de linhas, o primeiro feixe de torção O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} é equivalente a divisores de hiperplanos. Como o anel de polinômios é um domínio de fatoração única, qualquer ideal primo de altura 1 é um ideal principal, o que mostra que qualquer divisor de Weil é linearmente equivalente a alguma potência de um divisor de hiperplano. Esta consideração prova que o grupo de Picard de um espaço projetivo é livre de posto 1. Ou seja, Pic ⁡ P k n = Z {\displaystyle \operatorname {Pic} \mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{n}=\mathbb {Z} } , e o isomorfismo é dado pelo grau dos divisores.

Como os espaços afins podem ser mergulhados em espaços projetivos, todas as variedades afins também podem ser mergulhadas em espaços projetivos. Qualquer escolha de um sistema finito de seções globais não simultaneamente nulas de um fibrado de linhas globalmente gerado define um morfismo para um espaço projetivo. Um fibrado de linhas cuja base pode ser mergulhada em um espaço projetivo por tal morfismo é chamado de muito amplo. O grupo de simetrias do espaço projetivo P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}} é o grupo de automorfismos lineares projetivizados P G L n + 1 ( k ) {\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbf {k} )} . A escolha de um morfismo para um espaço projetivo j : X → P n {\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}} módulo a ação deste grupo é de fato equivalente à escolha de um sistema linear de divisores de dimensão n {\displaystyle n} globalmente gerador sobre um fibrado de linhas em X {\displaystyle X} . A escolha de um mergulho projetivo de X {\displaystyle X} , módulo transformações projetivas, é igualmente equivalente à escolha de um fibrado de linhas muito amplo em X {\displaystyle X} .

Como variedades de Fano, os espaços projetivos são variedades regradas. A teoria da interseção de curvas no plano projetivo produz o teorema de Bézout.