Ação de grupo contínua
Uma ação contínua , em topologia, de um grupo G num espaço topológico X é um homomorfismo de G no grupo dos homeomorfismos de X tal que a correspondente função é contínua.
Se G é um grupo topológico, uma acção de G sobre um espaço topológico X é uma aplicação contínua ϕ : G × X → X {\displaystyle \phi :G\times X\to X} tal que: i) ϕ ( e , x ) = x , ∀ x ∈ X {\displaystyle \phi (e,x)=x,\forall x\in X} ii) ϕ ( g , ϕ ( h , x ) ) = ϕ ( g h , x ) , ∀ g , h ∈ G , ∀ x ∈ X {\displaystyle \phi (g,\phi (h,x))=\phi (gh,x),\forall g,h\in G,\forall x\in X}
Notação
Algumas notações são empregadas para representar a acção de G sobre X.
A órbita de um elemento x {\displaystyle x\,\!} de X {\displaystyle X\,\!} é a classe de equivalência de x {\displaystyle x\,\!} , com respeito à relação de equivalência ∼ {\displaystyle \sim } determinada por x ∼ y {\displaystyle x\sim y} se existir g ∈ G {\displaystyle g\in G} tal que y = g ( x ) {\displaystyle y=g(x)\,\!} , onde g ( x ) {\displaystyle g(x)\,\!} representa a imagem de x {\displaystyle x\,\!} pelo homeomorfismo de X {\displaystyle X\,\!} associado a g {\displaystyle g\,\!} .
O quociente de um espaço topológico X por um grupo G, que se representa por X/G, é o conjunto das órbitas, com a topologia quociente.
