Amplitude de probabilidade

Negligenciando algumas complexidades técnicas, o problema da medição quântica é o comportamento de um estado quântico, para o qual o valor do observável Q a ser medido é incerto (ver princípio da incerteza). Pensa-se que tal estado seja uma superposição coerente dos autoestados do observável, estados nos quais o valor do observável é definido de forma única, para diferentes valores possíveis do observável. Quando uma medição de Q é feita, o sistema (sob a interpretação de Copenhague) salta para um dos autoestados, retornando o autovalor pertencente a esse autoestado. O sistema pode sempre ser descrito por uma combinação linear ou superposição desses autoestados com "pesos" (função peso) desiguais. Intuitivamente, é claro que autoestados com "pesos" maiores são mais "prováveis" de serem produzidos. De fato, para qual dos autoestados acima o sistema salta é dado por uma lei probabilística: a probabilidade de o sistema saltar para o estado é proporcional ao valor absoluto do peso numérico correspondente ao quadrado. Esses pesos numéricos são chamados de amplitudes de probabilidade, e essa relação usada para calcular probabilidades a partir de estados quânticos puros fornecidos (como funções de onda) é chamada de Regra de Born.

Numa configuração formal, o estado de um sistema físico isolado na mecânica quântica é representado, em um tempo fixo t {\displaystyle t} , por um vetor de estado | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } pertencente a um espaço de Hilbert complexo separável. Usando a notação bra-ket, a relação entre o vetor de estado e a "base de posição" { | x ⟩ } {\displaystyle \{|x\rangle \}} do espaço de Hilbert pode ser escrita como Sua relação com um observável pode ser elucidada generalizando o estado quântico ψ {\displaystyle \psi } para uma função mensurável e seu domínio de definição para um dado espaço de medida σ-finito ( X , A , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} . Isso permite um refinamento do teorema da decomposição de Lebesgue, decompondo μ em três partes mutuamente singulares onde μac é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue, μsc é singular em relação à medida de Lebesgue e sem átomos, e μpp é uma medida de ponto puro.

No exemplo acima, a medição deve dar ou | H ⟩ {\displaystyle |H\rangle } ou | V ⟩ {\displaystyle |V\rangle } , de modo que a probabilidade total de medir | H ⟩ {\displaystyle |H\rangle } ou | V ⟩ {\displaystyle |V\rangle } deve ser 1. Isto leva a uma restrição de que α 2 + β 2 = 1 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=1} ; mais geralmente, a soma dos módulos ao quadrado das amplitudes de probabilidade de todos os estados possíveis é igual a um. Se entendermos "todos os estados possíveis" como uma base ortonormal, o que faz sentido no caso discreto, então esta condição é a mesma que a condição de norma 1 explicada acima. Sempre se pode dividir qualquer elemento não nulo de um espaço de Hilbert por sua norma e obter um vetor de estado normalizado. No entanto, nem toda função de onda pertence ao espaço de Hilbert L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} . Funções de onda que cumprem esta restrição são chamadas de normalizáveis.

As amplitudes de probabilidade têm um significado especial porque atuam na mecânica quântica como o equivalente das probabilidades convencionais, com muitas leis análogas, como descrito acima. Por exemplo, na clássica experiência da dupla fenda, elétrons são disparados aleatoriamente em duas fendas, e a distribuição de probabilidade de detectar elétrons em todas as partes de uma grande tela colocada atrás das fendas é questionada. Uma resposta intuitiva é que a probabilidade de passar através de qualquer fenda é igual à soma das probabilidades individuais. Isso é óbvio se assumirmos que um elétron passa por uma das fendas. Quando nenhum aparelho de medição que determina por qual fenda os elétrons viajam é instalado, a distribuição de probabilidade observada na tela reflete o padrão de interferência que é comum com ondas de luz. Se assumirmos que a lei acima é verdadeira, então esse padrão não pode ser explicado. Não se pode dizer que as partículas passam por nenhuma das fendas e a explicação simples não funciona. A explicação correta é, no entanto, pela associação de amplitudes de probabilidade a cada evento. As amplitudes complexas que representam o elétron passando por cada fenda ( ψ primeira {\displaystyle \psi _{\text{primeira}}} e ψ segunda {\displaystyle \psi _{\text{segunda}}} ) seguem a lei exatamente da forma esperada: ψ total = ψ primeira + ψ segunda {\displaystyle \psi _{\text{total}}=\psi _{\text{primeira}}+\psi _{\text{segunda}}} . Este é o princípio da superposição quântica. A probabilidade, que é o módulo ao quadrado da amplitude de probabilidade, então segue o padrão de interferência sob a exigência de que as amplitudes sejam complexas: P = | ψ primeira + ψ segunda | 2 = | ψ primeira | 2 + | ψ segunda | 2 + 2 | ψ primeira | | ψ segunda | cos ⁡ ( φ 1 − φ 2 ) . {\displaystyle P=\left|\psi _{\text{primeira}}+\psi _{\text{segunda}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{primeira}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{segunda}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{primeira}}\right|\left|\psi _{\text{segunda}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).} Aqui, φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} e φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} são os argumentos de ψ primeira {\displaystyle \psi _{\text{primeira}}} e ψ segunda {\displaystyle \psi _{\text{segunda}}} , respectivamente. Uma formulação puramente real tem poucas dimensões para descrever o estado do sistema quando a superposição é levada em consideração. Ou seja, sem os argumentos das amplitudes, não podemos descrever a interferência dependente da fase. O termo crucial 2 | ψ primeira | | ψ segunda | cos ⁡ ( φ 1 − φ 2 ) {\displaystyle 2\left|\psi _{\text{primeira}}\right|\left|\psi _{\text{segunda}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})} é chamado de "termo de interferência", e isso estaria faltando se tivéssemos adicionado as probabilidades.

Intuitivamente, uma vez que uma função de onda normalizada permanece normalizada enquanto evolui de acordo com a equação de onda, haverá uma relação entre a mudança na densidade de probabilidade da posição da partícula e a mudança na amplitude nessas posições. Defina a corrente de probabilidade (ou fluxo) j {\displaystyle \mathbf {j} } como medida em unidades de (probabilidade)/(área × tempo). Sendo a densidade de probabilidade ρ = | ψ | 2 {\displaystyle \rho =|\psi |^{2}} , esta equação é exatamente a equação da continuidade, aparecendo em muitas situações na física onde precisamos descrever a conservação local de grandezas. O melhor exemplo está na eletrodinâmica clássica, onde j {\displaystyle \mathbf {j} } corresponde à densidade de corrente associada à carga elétrica, e a densidade é a densidade de carga. A equação da continuidade correspondente descreve a conservação local de cargas.

Para dois sistemas quânticos com espaços L 2 ( X 1 ) {\displaystyle L^{2}(X_{1})} e L 2 ( X 2 ) {\displaystyle L^{2}(X_{2})} e estados dados | Ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\Psi _{1}\rangle } e | Ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\Psi _{2}\rangle } respectivamente, seu estado combinado | Ψ 1 ⟩ ⊗ | Ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\Psi _{1}\rangle \otimes |\Psi _{2}\rangle } pode ser expresso como ψ 1 ( x 1 ) ψ 2 ( x 2 ) {\displaystyle \psi _{1}(x_{1})\psi _{2}(x_{2})} , uma função em X 1 × X 2 {\displaystyle X_{1}\times X_{2}} que fornece o produto das respectivas medidas de probabilidade. Em outras palavras, as amplitudes de um estado composto não emaranhado são produtos das amplitudes originais, e os respectivos observáveis nos sistemas 1 e 2 se comportam nestes estados como variáveis aleatórias independentes. Isto reforça a interpretação probabilística explicitada acima.

O conceito de amplitudes também é usado no contexto da teoria do espalhamento, notavelmente na forma de matrizes S. Considerando que os módulos dos componentes do vetor ao quadrado, para um dado vetor, fornecem uma distribuição de probabilidade fixa, os módulos dos elementos de matriz ao quadrado são interpretados como probabilidades de transição, tal como em um processo aleatório. Como um vetor unitário de dimensão finita especifica uma distribuição de probabilidade finita, uma matriz unitária de dimensão finita especifica probabilidades de transição entre um número finito de estados. A interpretação "transicional" pode ser aplicada a espaços L 2 {\displaystyle L^{2}} não discretos também.