Função de onda
Na física quântica, uma função de onda é uma descrição matemática do estado quântico de um sistema quântico isolado. Os símbolos mais comuns para uma função de onda são as letras gregas ψ e Ψ.
Em 1900, Max Planck postulou a proporcionalidade entre a frequência f {\displaystyle f} de um fóton e sua energia E {\displaystyle E} , E = h f {\displaystyle E=hf} , e em 1916 a relação correspondente entre o momento de um fóton p {\displaystyle p} e o comprimento de onda λ {\displaystyle \lambda } , λ = h p {\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}} , onde h {\displaystyle h} é a constante de Planck. Em 1923, De Broglie foi o primeiro a sugerir que a relação λ = h p {\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}} , agora chamada de relação de De Broglie, vale para partículas massivas, a principal pista sendo a invariância de Lorentz, e isso pode ser visto como o ponto de partida para o desenvolvimento moderno da mecânica quântica. As equações representam a dualidade onda-partícula para partículas sem massa e massivas. Nas décadas de 1920 e 1930, a mecânica quântica foi desenvolvida usando cálculo e álgebra linear. Aqueles que usaram as técnicas de cálculo incluíram Louis de Broglie, Erwin Schrödinger e outros, desenvolvendo a "mecânica ondulatória". Aqueles que aplicaram os métodos da álgebra linear incluíram Werner Heisenberg, Max Born e outros, desenvolvendo a "mecânica matricial". Schrödinger posteriormente mostrou que as duas abordagens eram equivalentes.
Funções de onda e equações de onda em teorias modernas
Todas essas equações de onda são de importância duradoura. A equação de Schrödinger e a equação de Pauli são, em muitas circunstâncias, excelentes aproximações das variantes relativísticas. Elas são consideravelmente mais fáceis de resolver em problemas práticos do que as contrapartes relativísticas. A equação de Klein e Gordon e a equação de Dirac, embora sejam relativísticas, não representam a reconciliação completa da mecânica quântica e da relatividade especial. O ramo da mecânica quântica onde essas equações são estudadas da mesma forma que a equação de Schrödinger, frequentemente chamada de mecânica quântica relativística, embora muito bem-sucedida, tem suas limitações (veja, por exemplo, deslocamento de Lamb) e problemas conceituais (veja, por exemplo, mar de Dirac).
Imagem: GuiSilva1 · BY-SA · Openverse
Por enquanto, considere o caso simples de uma partícula única que não é relativística, sem spin, em uma dimensão espacial. Casos mais gerais são discutidos abaixo. De acordo com os postulados da mecânica quântica, o estado de um sistema físico, em tempo fixo t {\displaystyle t} , é dado pela função de onda pertencente a um espaço de Hilbert complexo separável. Como tal, o produto interno de duas funções de onda Ψ1 e Ψ2 pode ser definido como o número complexo (no tempo t)[nb 1] Mais detalhes são fornecidos abaixo. No entanto, o produto interno de uma função de onda Ψ consigo mesma, é sempre um número real positivo. O número ‖Ψ‖ (não ‖Ψ‖2) é chamado de norma da função de onda Ψ. O espaço de Hilbert separável sendo considerado é infinitamente dimensional,[nb 2] o que significa que não há um conjunto finito de funções integráveis ao quadrado que podem ser adicionadas em várias combinações para criar todas as funções integráveis ao quadrado possíveis.
Funções de onda do espaço de posição
O estado de tal partícula é completamente descrito por sua função de onda, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} onde x é a posição e t é o tempo. Esta é uma função de valor complexo de duas variáveis reais x e t. Para uma partícula sem spin em uma dimensão, se a função de onda for interpretada como uma amplitude de probabilidade; o módulo quadrado da função de onda, o número real positivo | Ψ ( x , t ) | 2 = Ψ ∗ ( x , t ) Ψ ( x , t ) = ρ ( x ) {\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x)} é interpretado como a densidade de probabilidade para uma medição da posição da partícula em um dado tempo t. O asterisco indica o conjugado complexo. Se a posição da partícula for medida, sua localização não poderá ser determinada pela função de onda, mas será descrita por uma distribuição de probabilidade.
Funções de onda do espaço de momento
A partícula também tem uma função de onda no espaço de momento: Φ ( p , t ) {\displaystyle \Phi (p,t)} onde p é o momento em uma dimensão, que pode ser qualquer valor de −∞ a +∞, e t é o tempo. Análogo ao caso da posição, o produto interno de duas funções de onda Φ1(p, t) e Φ2(p, t) pode ser definido como: ( Φ 1 , Φ 2 ) = ∫ − ∞ ∞ Φ 1 ∗ ( p , t ) Φ 2 ( p , t ) d p {\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp} Uma solução particular para a equação de Schrödinger independente do tempo é Ψ p ( x ) = e i p x / ℏ {\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar }} uma onda plana, que pode ser usada na descrição de uma partícula com momento exatamente p, uma vez que é uma autofunção do operador de momento. Essas funções não são normalizáveis para a unidade (elas não são integráveis ao quadrado), então elas não são realmente elementos do espaço físico de Hilbert. O conjunto { Ψ p ( x , t ) , − ∞ ≤ p ≤ ∞ } {\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}} forma o que é chamado de base de momento. Esta "base" não é uma base no sentido matemático usual. Por um lado, uma vez que as funções não são normalizáveis, elas são normalizadas para uma função delta,[nb 4] ( Ψ p , Ψ p ′ ) = δ ( p − p ′ ) {\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p')}
Relações entre as representações de posição e de momento
As representações x e p são | Ψ ⟩ = I | Ψ ⟩ = ∫ | x ⟩ ⟨ x | Ψ ⟩ d x = ∫ Ψ ( x ) | x ⟩ d x , | Ψ ⟩ = I | Ψ ⟩ = ∫ | p ⟩ ⟨ p | Ψ ⟩ d p = ∫ Φ ( p ) | p ⟩ d p {\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp\end{aligned}}} Agora pegue a projeção do estado Ψ em autofunções de momento usando a última expressão nas duas equações, ∫ Ψ ( x ) ⟨ p | x ⟩ d x = ∫ Φ ( p ′ ) ⟨ p | p ′ ⟩ d p ′ = ∫ Φ ( p ′ ) δ ( p − p ′ ) d p ′ = Φ ( p ) {\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p)} Em seguida, utilizando a expressão conhecida para estados próprios de momento adequadamente normalizados nas soluções de representação de posição da equação de Schrödinger livre ⟨ x | p ⟩ = p ( x ) = 1 2 π ℏ e i ℏ p x ⇒ ⟨ p | x ⟩ = 1 2 π ℏ e − i ℏ p x {\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}} obtém-se Φ ( p ) = 1 2 π ℏ ∫ Ψ ( x ) e − i ℏ p x d x {\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx}
Imagem: Thepalerider2012 · BY-SA · Openverse
A seguir estão as formas gerais da função de onda para sistemas em dimensões superiores e mais partículas, além de incluir outros graus de liberdade além de coordenadas de posição ou componentes de momento.
Espaço de Hilbert de dimensão finita
Embora os espaços de Hilbert originalmente se refiram a espaços de produto interno completos de dimensão infinita, eles, por definição, incluem também espaços de produto interno completos de dimensão finita. Na física, eles são frequentemente chamados de espaços de Hilbert de dimensão finita. Para cada espaço de Hilbert de dimensão finita, existem kets de base ortonormais que abrangem todo o espaço de Hilbert. Se o conjunto N-dimensional { | ϕ i ⟩ } {\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}} for ortonormal, então o operador de projeção para o espaço abrangido por esses estados é dado por: P = ∑ i | ϕ i ⟩ ⟨ ϕ i | = I {\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I} onde a projeção é equivalente ao operador de identidade, pois { | ϕ i ⟩ } {\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}} abrange todo o espaço de Hilbert, deixando qualquer vetor do espaço de Hilbert inalterado. Isso também é conhecido como relação de completude do espaço de Hilbert de dimensão finita.
Estados de uma partícula no espaço de posição 3D
A função de onda do espaço de posição de uma única partícula sem spin em três dimensões espaciais é semelhante ao caso de uma dimensão espacial acima: Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} onde r é o vetor de posição no espaço tridimensional e t é o tempo. Como sempre, Ψ(r, t) é uma função de valor complexo de variáveis reais. Como um único vetor na notação de Dirac | Ψ ( t ) ⟩ = ∫ d 3 r Ψ ( r , t ) | r ⟩ {\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle } Todas as observações anteriores sobre produtos internos, funções de onda de espaço de momento, transformadas de Fourier e assim por diante se estendem a mais dimensões.
Estados de muitas partículas no espaço de posição 3D
Se houver muitas partículas, em geral há apenas uma função de onda, não uma função de onda separada para cada partícula. O fato de uma função de onda descrever muitas partículas é o que torna o emaranhamento quântico e o paradoxo de Einstein,Podolsky, e Rosen (EPR) possíveis. A função de onda de espaço de posição para N partículas é escrita: Ψ ( r 1 , r 2 ⋯ r N , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)} onde ri é a posição da i-ésima partícula no espaço tridimensional, e t é o tempo. No total, esta é uma função de valor complexo de 3N + 1 variáveis reais. Na mecânica quântica, há uma distinção fundamental entre partículas idênticas e partículas distinguíveis. Por exemplo, quaisquer dois elétrons são idênticos e fundamentalmente indistinguíveis um do outro; as leis da física tornam impossível "carimbar um número de identificação" em um determinado elétron para mantê-lo sob controle. Isso se traduz em um requisito na função de onda para um sistema de partículas idênticas: Ψ Ψ ( … r a , … , r b , … ) = ± Ψ ( … r b , … , r a , … ) {\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)} onde o sinal + ocorre se as partículas forem todas bósons e o sinal − se forem todas férmions. Em outras palavras, a função de onda é totalmente simétrica nas posições dos bósons ou totalmente antisimétrica nas posições dos férmions. A troca física de partículas corresponde a argumentos de comutação matemática na função de onda. A característica antisimétrica das funções de onda fermiônicas leva ao princípio de Pauli. Geralmente, os requisitos de simetria bosônica e fermiônica são a manifestação de estatísticas de partículas e estão presentes em outros formalismos de estado quântico.
Imagem: Kelvin Boltzmann · BY-SA · Openverse
Para sistemas em potenciais independentes do tempo, a função de onda pode sempre ser escrita como uma função dos graus de liberdade multiplicados por um fator de fase dependente do tempo, cuja forma é dada pela equação de Schrödinger. Para N partículas, considerando apenas suas posições e suprimindo outros graus de liberdade, Ψ ( r 1 , r 2 , … , r N , t ) = e − i E t / ℏ ψ ( r 1 , r 2 , … , r N ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})} onde E é o autovalor de energia do sistema correspondente ao autoestado Ψ. Funções de onda dessa forma são chamadas de estados estacionários. A dependência temporal do estado quântico e dos operadores pode ser colocada de acordo com transformações unitárias nos operadores e estados. Para qualquer estado quântico |Ψ⟩ e operador O, na imagem de Schrödinger |Ψ(t)⟩ muda com o tempo de acordo com a equação de Schrödinger enquanto O é constante. Na imagem de Heisenberg é o contrário, |Ψ⟩ é constante enquanto O(t) evolui com o tempo de acordo com a equação de movimento de Heisenberg. A imagem de Dirac (ou interação) é intermediária, a dependência temporal é colocada em operadores e estados que evoluem de acordo com equações de movimento. É útil principalmente na computação de elementos da matriz S.
A seguir estão soluções para a equação de Schrödinger para uma partícula sem spin que não é relativística.
Barreira de potencial finita
Uma das características mais proeminentes da mecânica ondulatória é a possibilidade de uma partícula atingir um local com um potencial de força proibitivo (na mecânica clássica). Um modelo comum é a "barreira de potencial", o caso unidimensional tem o potencial V ( x ) = { V 0 | x | < a 0 | x | ≥ a {\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}} e as soluções de estado estacionário para a equação de onda têm a forma (para algumas constantes k, κ) Ψ ( x ) = { A r e i k x + A l e − i k x x < − a B r e κ x + B l e − κ x | x | ≤ a C r e i k x + C l e − i k x x > a {\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a\end{cases}}}
Oscilador harmônico quântico
As funções de onda para o oscilador harmônico quântico podem ser expressas em termos de polinômios de Hermite Hn, eles são Ψ n ( x ) = 1 2 n n ! ⋅ ( m ω π ℏ ) 1 / 4 ⋅ e − m ω x 2 2 ℏ ⋅ H n ( m ω ℏ x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}} onde n = 0, 1, 2, .... A densidade de probabilidade de elétrons para os primeiros orbitais de elétrons do átomo de hidrogênio mostrados como seções transversais. Esses orbitais formam uma base ortonormal para a função de onda do elétron. Diferentes orbitais são representados com escalas diferentes.
Átomo de hidrogênio
As funções de onda de um elétron em um átomo de hidrogênio são expressas em termos de harmônicos esféricos e polinômios de Laguerre generalizados (estes são definidos de forma diferente por diferentes autores — veja o artigo principal sobre eles e o átomo de hidrogênio). É conveniente usar coordenadas esféricas, e a função de onda pode ser separada em funções de cada coordenada, Ψ n ℓ m ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )} onde: Este é o único átomo para o qual a equação de Schrödinger foi resolvida exatamente. Átomos multielétrons requerem métodos aproximados. A família de soluções é: Ψ n ℓ m ( r , θ , ϕ ) = ( 2 n a 0 ) 3 ( n − ℓ − 1 ) ! 2 n [ ( n + ℓ ) ! ] e − r / n a 0 ( 2 r n a 0 ) ℓ L n − ℓ − 1 2 ℓ + 1 ( 2 r n a 0 ) ⋅ Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )} onde:
Imagem: GuiSilva1 · BY-SA · Openverse
O conceito de espaços de funções entra naturalmente na discussão sobre funções de onda. Um espaço de funções é um conjunto de funções, geralmente com alguns requisitos de definição sobre as funções (no caso presente, que elas sejam integráveis ao quadrado), às vezes com uma estrutura algébrica no conjunto (no caso presente, uma estrutura de espaço vetorial com um produto interno), juntamente com uma topologia no conjunto. Este último será usado esparsamente aqui, é necessário apenas para obter uma definição precisa do que significa para um subconjunto de um espaço de funções ser fechado. Conclui-se abaixo que o espaço de funções de funções de onda é um espaço de Hilbert. Esta observação é a base da formulação matemática predominante da mecânica quântica.
Estrutura do espaço vetorial
Uma função de onda é um elemento de um espaço de função parcialmente caracterizado pelas seguintes descrições concretas e abstratas. Essa similaridade não é acidental, é claro. Também há distinções entre os espaços para manter em mente.
Representações
Estados básicos são caracterizados por um conjunto de números quânticos. Este é um conjunto de autovalores de um conjunto máximo de observáveis comutantes. Os observáveis físicos são representados por operadores lineares, também chamados de observáveis, no espaço vetorial. Maximalidade significa que não pode ser adicionado ao conjunto nenhum outro observável algebricamente independente que comute com os já presentes. Uma escolha de tal conjunto pode ser chamada de escolha de representação. Os estados abstratos são "abstratos" apenas no sentido de que uma escolha arbitrária necessária para uma descrição explícita particular dele não é dada. Isso é o mesmo que dizer que nenhuma escolha de conjunto máximo de observáveis de comutação foi dada. Isso é análogo a um espaço vetorial sem uma base especificada. As funções de onda correspondentes a um estado não são, portanto, únicas. Essa não unicidade reflete a não unicidade na escolha de um conjunto máximo de observáveis de comutação. Para uma partícula de spin em uma dimensão, a um estado particular correspondem duas funções de onda, Ψ(x, Sz) e Ψ(p, Sy), ambas descrevendo o mesmo estado.
Produto interno
Há uma estrutura algébrica adicional nos espaços vetoriais de funções de onda e no espaço de estado abstrato. Fisicamente, diferentes funções de onda são interpretadas como sobrepostas até certo ponto. Um sistema em um estado Ψ que não se sobrepõe a um estado Φ não pode ser encontrado no estado Φ após a medição. Mas se Φ1, Φ2, … se sobrepõem a Ψ até certo ponto, há uma chance de que a medição de um sistema descrito por Ψ seja encontrada nos estados Φ1, Φ2, …. Também são observadas regras de seleção. Elas são geralmente formuladas na preservação de alguns números quânticos. Isso significa que certos processos permitidos de algumas perspectivas (por exemplo, conservação de energia e momento) não ocorrem porque as funções de onda iniciais e finais totais não se sobrepõem.
Espaço de Hilbert
As observações acima encapsulam a essência dos espaços de funções dos quais as funções de onda são elementos. No entanto, a descrição ainda não está completa. Há um requisito técnico adicional no espaço de funções, o da completude, que permite que se tome limites de sequências no espaço de funções e se garanta que, se o limite existir, ele seja um elemento do espaço de funções. Um espaço de produto interno completo é chamado de espaço de Hilbert. A propriedade de completude é crucial em aplicações e tratamentos avançados da mecânica quântica. Por exemplo, a existência de operadores de projeção ou projeções ortogonais depende da completude do espaço. Esses operadores de projeção, por sua vez, são essenciais para a declaração e prova de muitos teoremas úteis, por exemplo, o teorema espectral. Não é muito importante na mecânica quântica introdutória, e detalhes técnicos e links podem ser encontrados em notas como a que se segue.[nb 8] O espaço L2 é um espaço de Hilbert, com produto interno apresentado posteriormente. O espaço de funções do exemplo da figura é um subespaço de L2. Um subespaço de um espaço de Hilbert é um espaço de Hilbert se for fechado.
Espaços de Hilbert comuns
Enquanto o espaço de soluções como um todo é um espaço de Hilbert, há muitos outros espaços de Hilbert que comumente ocorrem como ingredientes. De forma mais geral, pode-se considerar um tratamento unificado de todas as soluções polinomiais de segunda ordem para as equações de Sturm e Liouville no cenário do espaço de Hilbert. Isso inclui os polinômios de Legendre e Laguerre, bem como os polinômios de Chebyshev, os polinômios de Jacobi e os polinômios de Hermite. Todos esses realmente aparecem em problemas físicos, os últimos no oscilador harmônico, e o que de outra forma seria um labirinto desconcertante de propriedades de funções especiais se torna um corpo organizado de fatos. Para isso, veja Byron & Fuller (1992, Chapter 5).
Descrição simplificada
Nem todos os livros didáticos introdutórios seguem o caminho longo e introduzem a maquinaria completa do espaço de Hilbert, mas o foco está na equação de Schrödinger não relativística na representação de posição para certos potenciais padrão. As seguintes restrições na função de onda são às vezes explicitamente formuladas para que os cálculos e a interpretação física façam sentido: É possível relaxar um pouco essas condições para propósitos especiais.[nb 11] Se esses requisitos não forem atendidos, não é possível interpretar a função de onda como uma amplitude de probabilidade. Observe que exceções podem surgir à regra de continuidade das derivadas em pontos de descontinuidade infinita do campo potencial. Por exemplo, em uma partícula em uma caixa onde a derivada da função de onda pode ser descontínua no limite da caixa onde o potencial é conhecido por ter descontinuidade infinita.
Como foi demonstrado, o conjunto de todas as funções de onda possíveis em alguma representação para um sistema constitui um espaço de Hilbert de dimensão infinita em geral. Devido às múltiplas escolhas possíveis de base de representação, esses espaços de Hilbert não são únicos. Portanto, fala-se de um espaço de Hilbert abstrato, espaço de estado, onde a escolha da representação e da base é deixada indeterminada. Especificamente, cada estado é representado como um vetor abstrato no espaço de estado. Um estado quântico |Ψ⟩ em qualquer representação é geralmente expresso como um vetor | Ψ ⟩ = ∑ α ∫ d m ω Ψ t ( α , ω ) | α , ω ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi _{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle } onde: Esses números quânticos indexam os componentes do vetor de estado. Além disso, todos os α estão em um conjunto n-dimensional A = A1 × A2 × ... × An onde cada Ai é o conjunto de valores permitidos para αi; todos os ω estão em um "volume" m-dimensional Ω ⊆ ℝm onde Ω = Ω1 × Ω2 × ... × Ωm e cada Ωi ⊆ R é o conjunto de valores permitidos para ωi, um subconjunto dos números reais R. Para generalidade, n e m não são necessariamente iguais.
Se a função de onda existe na realidade, e o que ela representa, são questões importantes na interpretação da mecânica quântica. Muitos físicos famosos de uma geração anterior ficaram intrigados com esse problema, como Erwin Schrödinger, Albert Einstein e Niels Bohr. Alguns defendem formulações ou variantes da interpretação de Copenhague (por exemplo, Bohr, Eugene Wigner e John von Neumann), enquanto outros, como John Archibald Wheeler ou Edwin Thompson Jaynes, adotam a abordagem mais clássica e consideram a função de onda como representando informações na mente do observador, ou seja, uma medida do nosso conhecimento da realidade. Alguns, incluindo Schrödinger, David Bohm e Hugh Everett III e outros, argumentaram que a função de onda deve ter uma existência física objetiva. Einstein pensou que uma descrição completa da realidade física deveria se referir diretamente ao espaço e tempo físicos, diferentemente da função de onda, que se refere a um espaço matemático abstrato.
