Mecânica quântica
A mecânica quântica é a teoria física que obtém sucesso no estudo dos sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica, tais como moléculas, átomos, elétrons, prótons e outras partículas subatômicas, muito embora também possa descrever fenômenos macroscópicos em diversos casos.
''No final do século 19, pairava um sentimento sobre os físicos de que tudo estava resolvido. Muitos realmente acreditavam que todas as grandes descobertas já haviam sido feitas.'' O desenvolvimento da mecânica quântica foi uma necessidade gerada pelo acúmulo de resultados experimentais ao longo da virada dos séculos XIX e XX, os quais não conseguiam ser entendidos ou explicados à luz das teorias físicas existentes naquele período. As tentativas de contornar as dificuldades através da adaptação dos formalismos e ferramentas então disponíveis foram paulatinamente abandonadas, pois logo ficou claro que novas frentes conceituais e técnicas teriam que ser abertas. As propostas de uma equação de onda, que generalizava ideias acerca do caráter ondulatório das partículas, bem como de uma formulação matricial, baseada na utilização de observáveis experimentais na descrição dos sistemas atômicos, logo foram seguidas por trabalhos mais marcadamente matemáticos, que tinham por principal objetivo aparar possíveis arestas formais surgidas ao longo desse avanço conceitual.
Em física, chama-se "sistema" um fragmento concreto da realidade que foi separado para estudo. Dependendo do caso, a palavra sistema refere-se a um elétron ou um próton, um pequeno átomo de hidrogênio ou um grande átomo de urânio, uma molécula isolada ou um conjunto de moléculas interagentes formando um sólido ou um vapor. Em todos os casos, sistema é um fragmento da realidade concreta para o qual deseja-se chamar atenção. Dependendo da partícula pode-se inverter polarizações subsequentes de aspecto neutro. A especificação de um sistema físico não determina unicamente os valores que experimentos fornecem para as suas propriedades (ou as probabilidades de se medirem tais valores, em se tratando de teorias probabilísticas). Além disso, os sistemas físicos não são estáticos, eles evoluem com o tempo, de modo que o mesmo sistema, preparado da mesma forma, pode dar origem a resultados experimentais diferentes dependendo do tempo em que se realiza a medida (ou a histogramas diferentes, no caso de teorias probabilísticas). Essa ideia conduz a outro conceito-chave: o conceito de "estado". Um estado é uma quantidade matemática (que varia de acordo com a teoria) que determina completamente os valores das propriedades físicas do sistema associadas a ele num dado instante de tempo (ou as probabilidades de cada um de seus valores possíveis serem medidos, quando se trata de uma teoria probabilística). Em outras palavras, todas as informações possíveis de se conhecer em um dado sistema constituem seu estado.
A representação do estado
No formalismo da mecânica quântica, o estado de um sistema num dado instante de tempo pode ser representado de duas formas principais: Em suma, tanto as "funções de onda" quanto os "vetores de estado" (ou kets) representam os estados de um dado sistema físico de forma completa e equivalente e as leis da mecânica quântica descrevem como vetores de estado e funções de onda evoluem no tempo. Estes objetos matemáticos abstratos (kets e funções de onda) permitem o cálculo da probabilidade de se obter resultados específicos em um experimento concreto. Por exemplo, o formalismo da mecânica quântica permite que se calcule a probabilidade de encontrar um elétron em uma região particular em torno do núcleo.
Muitos fenômenos quânticos difíceis de se imaginar concretamente podem ser compreendidos com um pouco de abstração matemática. Há três conceitos fundamentais da matemática - mais especificamente da álgebra linear - que são empregados constantemente pela mecânica quântica. São estes: (1) o conceito de operador; (2) de autovetor; e (3) de autovalor. Na formulação matematicamente rigorosa da mecânica quântica, o estado de um sistema mecânico-quântico representa um vetor ψ {\displaystyle \psi } , definido num espaço de Hilbert complexo (separável) H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . Postula-se que este vetor é normalizado em relação ao produto escalar do espaço de Hilbert, ou seja, obedece à condição ⟨ ψ , ψ ⟩ = 1 , {\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1,} e ele está corretamente definido com precisão até um número complexo de módulo 1 (fase global), ou, por outras palavras, os estados ψ {\displaystyle \psi } e e i α ψ {\displaystyle e^{i\alpha }\psi } representam o mesmo sistema físico. Os estados possíveis são pontos do espaço projetivo de Hilbert, habitualmente chamado Espaço projetivo complexo.
Princípio da incerteza
Um dos desfechos do formalismo da mecânica quântica é o Princípio da incerteza. Na sua forma mais conhecida, afirma que para uma partícula quântica não se pode prever simultaneamente e com precisão a sua coordenada e o seu momento. O operador de coordenada X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} e o operador de momento P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} não comutam entre si, mas satisfazem a relação de comutação canónica: Dado um estado quântico, a regra de Born permite calcular os valores esperados para X , {\displaystyle X,} P {\displaystyle P} e as suas potências. Definindo a incerteza de um observável pela fórmula do Desvio padrão, temos para a coordenada:
Sistemas compostos e emaranhamento
Quando dois sistemas quânticos diferentes são considerados em conjunto, o espaço de Hilbert do sistema combinado representa o Produto tensorial dos espaços de Hilbert das duas componentes. Por exemplo, sejam A e B dois sistemas quânticos com espaços de Hilbert H A {\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}} e H B {\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}} respetivamente. Então o espaço de Hilbert do sistema composto é: Se o estado do primeiro sistema for o vetor ψ A {\displaystyle \psi _{A}} e o do segundo for ψ B {\displaystyle \psi _{B}} , o estado do sistema composto é: Nem todos os estados no espaço conjunto H A B {\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}} podem ser escritos nesta forma, pois o princípio da sobreposição implica que combinações lineares destes estados "separáveis" também são possíveis. Por exemplo, se ψ A {\displaystyle \psi _{A}} e ϕ A {\displaystyle \phi _{A}} são estados de A {\displaystyle A} , e ψ B {\displaystyle \psi _{B}} e ϕ B {\displaystyle \phi _{B}} são estados de B {\displaystyle B} , então o novo estado:
Equivalência de formulações
Existem múltiplas formulações matematicamente equivalentes da mecânica quântica. Uma das mais antigas é a "teoria das transformações" proposta por Paul Dirac, que une e generaliza a Mecânica matricial (Werner Heisenberg) e a Mecânica ondulatória (Erwin Schrödinger). Alternativamente, a mecânica quântica pode ser formulada através do integral de trajetória de Feynman, onde a amplitude quântica é a soma de todos os caminhos clássicos e não-clássicos possíveis, representando o análogo quântico do princípio da ação da mecânica clássica.
Simetrias e leis de conservação
O hamiltoniano H {\displaystyle H} é conhecido como o gerador da evolução temporal, pois determina o operador unitário U ( t ) = e − i H t / ℏ {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }} . Desta relação segue-se que qualquer observável A {\displaystyle A} que comute com H {\displaystyle H} será conservado. Isto implica a versão quântica do Teorema de Noether: para cada simetria contínua que deixa a ação invariante, existe uma lei de conservação correspondente.
O problema de autovalor e autovetor é um problema matemático abstrato sem o qual não é possível compreender seriamente o significado da mecânica quântica. Em primeiro lugar, considere o operador  de uma transformação linear arbitrária que relacione vetores de um espaço E com vetores do mesmo espaço E. Neste caso, escreve-se [eq.01]: Observe que qualquer matriz quadrada satisfaz a condição imposta acima desde que os vetores no espaço E possam ser representados como matrizes-coluna e que a atuação de  sobre os vetores de E ocorra conforme o produto de matrizes a seguir: Como foi dito, a equação acima ilustra muito bem a atuação de um operador do tipo definido em [eq.01]. Porém, é possível representar a mesma ideia de forma mais compacta e geral sem fazer referência à representação matricial dos operadores lineares [eq.02]: Para cada operador  existe um conjunto { ν 1 → , ν 2 → , … , ν n → } {\displaystyle \{{\vec {\nu _{1}}},{\vec {\nu _{2}}},\ldots ,{\vec {\nu _{n}}}\}} tal que cada vetor do conjunto satisfaz [eq.03]:
Partícula livre
O exemplo mais simples de um sistema quântico com um grau de liberdade de coordenada é a partícula livre numa dimensão espacial. Uma partícula livre é uma partícula que não está sujeita a influências externas, portanto o seu hamiltoniano consiste apenas na sua energia cinética, e a equação de Schrödinger assume a forma: onde i {\displaystyle i} — unidade imaginária, ℏ {\displaystyle \hbar } — constante de Planck reduzida, m {\displaystyle m} — massa da partícula. Esta equação admite a separação de variáveis, e a solução geral da equação de Schrödinger é dada pela expressão na forma de qualquer integral convergente, que descreve um pacote de ondas de ondas planas de forma geral
Poço de potencial infinito
Uma partícula num potencial unidimensional com paredes infinitas é o exemplo matematicamente mais simples onde as restrições levam à quantização dos níveis de energia. A caixa é definida como um potencial que define para a partícula uma energia potencial nula em todo o lado dentro de uma determinada região e uma energia potencial infinita em todo o lado fora dessa região. Para o caso unidimensional ao longo do eixo x {\displaystyle x} , a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita na forma Se introduzirmos o operador diferencial de momento p ^ x = − i ℏ , d / d x , {\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar ,d/dx,} a equação anterior pode ser escrita numa forma que lembra a fórmula clássica para a Energia cinética,
Oscilador harmónico
O potencial do oscilador harmónico quântico, tal como no caso clássico, é definido pela expressão Os níveis de energia e as funções de estado do oscilador harmónico quântico podem ser determinados quer através da resolução direta da equação de Schrödinger, o que não é uma tarefa trivial, quer com a ajuda de um mais elegante "método de escada", proposto pela primeira vez por Paul Dirac. Os estados próprios do oscilador harmónico quântico são dados como onde λ = m ω / ℏ {\displaystyle \lambda =m\omega /\hbar } e n = 0 , 1 , 2 , … , , {\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,,} Hn — Polinómios de Hermite e os níveis de energia correspondentes são discretos
Interferómetro de Mach-Zehnder
O interferómetro de Mach-Zehnder ilustra os conceitos de sobreposição e interferência com álgebra linear num espaço discreto de dimensão 2 sem o uso de equações diferenciais. Pode ser visto como uma versão simplificada da experiência da fenda dupla, embora apresente interesse por si só, por exemplo, na experiência do apagador quântico com escolha retardada, na Experiência de Elitzur-Vaidman e em estudos de entrelaçamento quântico. Se considerarmos um fotão a passar pelo interferómetro, em cada ponto ele pode estar numa sobreposição de apenas dois caminhos: o caminho "inferior", que começa à esquerda, passa diretamente por ambos os divisores de feixe e termina no topo, e o caminho "superior", que começa por baixo, passa diretamente por ambos os divisores de feixe e termina à direita. Assim, o estado quântico do fotão é um vetor ψ ∈ C 2 {\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}} — uma sobreposição do caminho "inferior" ψ l = ( 1 0 ) {\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\ 0\end{pmatrix}}} e do caminho "superior" ψ u = ( 0 1 ) {\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\ 1\end{pmatrix}}} , ou ψ = α ψ l + β ψ u {\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}} para coeficientes complexos α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } . Para cumprir o postulado ⟨ ψ , ψ ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1} é necessário que | α | 2 + | β | 2 = 1 {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1} .
Vetores e espaços vetoriais
Na álgebra linear, um espaço vetorial (ou o espaço linear) é uma coleção dos objetos abstratos (chamados vetores) que possuem algumas propriedades que não serão completamente detalhadas aqui. Por agora, importa saber que tais objetos (vetores) podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por um número escalar. O resultado dessas operações é sempre um vetor pertencente ao mesmo espaço. Os espaços vetoriais são os objetos básicos do estudo na álgebra linear, e têm várias aplicações na matemática, na ciência, e na engenharia. O espaço vetorial mais simples e familiar é o espaço Euclidiano bidimensional. Os vetores neste espaço são pares ordenados e são representados graficamente como "setas" dotadas de módulo, direção e sentido. No caso do espaço euclidiano bidimensional, a soma de dois vetores quaisquer pode ser realizada utilizando a regra do paralelogramo.
Os operadores na mecânica quântica
Um operador é um ente matemático que estabelece uma relação funcional entre dois espaços vetoriais. A relação funcional que um operador estabelece pode ser chamada transformação linear. Os detalhes mais formais não serão apontados aqui. Interessa, por enquanto, desenvolver uma ideia mais intuitiva do que são esses operadores. Por exemplo, considere o Espaço Euclidiano. Para cada vetor nesse espaço é possível executar uma rotação (de um certo ângulo) e encontrar outro vetor no mesmo espaço. Como essa rotação é uma relação funcional entre os vetores de um espaço, podemos definir um operador que realize essa transformação. Assim, dois exemplos bastante concretos de operadores são os de rotação e translação.
A mecânica quântica teve suas bases estabelecidas em Ruder Boskovic (1711-1787), padre jesuíta diplomata, físico, astrônomo e matemático. Sua Teoria da Filosofia Natural, publicada em 1758, atraiu admiradores desde a sua época até os dias de hoje, pela sua ambiciosa tentativa de entender a estrutura do Universo com base em uma ideia única, que corresponde atualmente de teoria do campo unificado. Além disso, apresentou seu modelo atômico consistindo num ponto central rodeado por uma nuvem de forças atrativas e repulsivas, o chamado "Campo de Bosković", usando princípios newtonianos. Nesta obra desenvolveu o conceito de átomo como um centro de forças de tipo pontual. Essa influência foi realmente imensa: os maiores cientistas europeus, particularmente na Inglaterra, elogiaram repetidamente a Teoria e dedicaram-lhe grande atenção ao longo do século XIX, e o interesse por ela reacendeu-se na segunda metade do século XX. Um historiador da ciência recente chama-o <o verdadeiro criador da física atômica fundamental, tal como a entendemos>. Mais tarde, pelas seguintes revelações científicas: em 1838, Michael Faraday descobriu os raios catódicos; em 1859, Gustav Kirchhoff enunciou o problema da radiação de corpo negro; em 1877, Ludwig Boltzmann sugeriu que os estados de energia de um sistema físico poderiam ser discretos e, finalmente em 1900, Max Planck formulou a hipótese que toda a energia é irradiada e absorvida na forma de elementos discretos chamados quanta. Segundo a teoria, cada um desses quanta tem energia proporcional à frequência ν da radiação eletromagnética emitida ou absorvida.
Primeiro princípio: princípio da superposição
Na mecânica quântica, o estado de um sistema físico é definido pelo conjunto de todas as informações que podem ser extraídas desse sistema ao se efetuar alguma medida. Na mecânica quântica, todos os estados são representados por vetores em um espaço vetorial complexo: o Espaço de Hilbert H. Assim, cada vetor no espaço H representa um estado que poderia ser ocupado pelo sistema. Portanto, dados dois estados quaisquer, a soma algébrica (superposição) deles também é um estado. Como a norma dos vetores de estado não possui significado físico, todos os vetores de estado são preferencialmente normalizados. Na notação de Dirac, os vetores de estado são chamados "Kets" e são representados como aparece a seguir:
Terceiro princípio: evolução do sistema
Seja | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } o estado de um sistema ao instante t. Se o sistema não é submetido a nenhuma observação, sua evolução, ao longo do tempo, é regida pela equação de Schrödinger: onde H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} é o hamiltoniano do sistema.
Apesar de ter sua estrutura formal basicamente pronta desde a década de 1930, a interpretação da Mecânica Quântica foi objeto de estudos por várias décadas. O principal é o problema da medição em Mecânica Quântica e sua relação com a não-localidade e causalidade. Já em 1935, Einstein, Podolski e Rosen publicaram seu Gedankenexperiment (paradoxo EPR), mostrando uma aparente contradição entre localidade e o processo de medida em mecânica quântica. Nos anos 60 J. S. Bell publicou uma série de relações que seriam respeitadas caso a localidade — ou pelo menos como a entendemos classicamente — ainda persistisse em sistemas quânticos. Tais condições são chamadas desigualdades de Bell e foram testadas experimentalmente por Alain Aspect, P. Grangier, Jean Dalibard em favor da mecânica quântica. Como seria de se esperar, tal interpretação ainda causa desconforto entre vários físicos, mas a grande parte da comunidade aceita que estados correlacionados podem violar causalidade desta forma.
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Mais tarde, foi introduzido o formalismo hamiltoniano, baseado matematicamente no uso do lagrangiano, mas cuja elaboração matemática é muitas vezes mais fácil.[carece de fontes?]
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Há várias interpretações da mecânica quântica, como uma tentativa de responder a questão: Sobre o que trata exatamente a mecânica quântica? Dentre elas, destacam-se:
As regras da mecânica quântica são fundamentais. Eles afirmam que o espaço de estado de um sistema é um espaço de Hilbert (crucialmente, que o espaço tem um produto interno) e que os observáveis do sistema são operadores hermitianos que atuam em vetores naquele espaço - embora não nos digam qual espaço de Hilbert ou quais operadores. Estes podem ser escolhidos apropriadamente para obter uma descrição quantitativa de um sistema quântico. Um guia importante para fazer essas escolhas é o princípio da correspondência, que afirma que as previsões da mecânica quântica se reduzem às da mecânica clássica quando um sistema se move para energias mais altas ou, equivalentemente, para números quânticos maiores, ou seja, enquanto uma única partícula exibe um grau de aleatoriedade, em sistemas que incorporam milhões de partículas, a média assume o controle e, no alto limite de energia, a probabilidade estatística de comportamento aleatório se aproxima de zero. Em outras palavras, a mecânica clássica é simplesmente uma mecânica quântica de grandes sistemas. Esse limite de "alta energia" é conhecido como limite clássico ou de correspondência. Pode-se até começar a partir de um modelo clássico estabelecido de um sistema específico e tentar adivinhar o modelo quântico subjacente que daria origem ao modelo clássico no limite de correspondência.
Mecânica quântica e física clássica
As previsões da mecânica quântica foram verificadas experimentalmente com um grau extremamente alto de precisão. De acordo com o princípio da correspondência entre a mecânica clássica e a quântica, todos os objetos obedecem às leis da mecânica quântica, e a mecânica clássica é apenas uma aproximação para grandes sistemas de objetos (ou uma mecânica quântica estatística de uma grande coleção de partículas). As leis da mecânica clássica, portanto, seguem as leis da mecânica quântica como uma média estatística no limite de grandes sistemas ou grandes números quânticos. No entanto, sistemas caóticos não têm bons números quânticos, e o caos quântico estuda a relação entre descrições clássicas e quânticas nesses sistemas.
Interpretação de Copenhague da cinemática quântica versus clássica
Uma grande diferença entre a mecânica clássica e a quântica é que elas usam descrições cinemáticas muito diferentes. Na visão madura de Niels Bohr, é necessário que os fenômenos da mecânica quântica sejam experimentos, com descrições completas de todos os dispositivos do sistema, preparativos, intermediários e finalmente medidos. As descrições são em termos macroscópicos, expressas em linguagem comum, complementadas com os conceitos da mecânica clássica. A condição inicial e a condição final do sistema são descritas respectivamente por valores em um espaço de configuração, por exemplo, um espaço de posição ou algum espaço equivalente, como um espaço de momento. A mecânica quântica não admite uma descrição completamente precisa, em termos de posição e momento, de uma condição inicial ou "estado" (no sentido clássico da palavra) que apoiaria uma previsão causal e precisamente determinística de uma condição final. Nesse sentido, defendido por Bohr em seus escritos maduros, um fenômeno quântico é um processo, uma passagem da condição inicial para a condição final, não um "estado" instantâneo no sentido clássico dessa palavra. Portanto, existem dois tipos de processos na mecânica quântica: estacionário e de transição. Para um processo estacionário, as condições inicial e final são as mesmas. Para uma transição, eles são diferentes. Obviamente, por definição, se apenas a condição inicial for fornecida, o processo não será determinado. Dada sua condição inicial, a previsão de sua condição final é possível, causalmente, mas apenas probabilisticamente, porque a equação de Schrödinger é determinística para a evolução da função de onda, mas a função de onda descreve o sistema apenas probabilisticamente.
Relatividade geral e mecânica quântica
Mesmo com os postulados definidores da teoria da relatividade geral de Einstein e da teoria quântica sendo indiscutivelmente apoiados por evidências empíricas rigorosas e repetidas, e embora eles não se contradigam diretamente teoricamente (pelo menos no que diz respeito às suas reivindicações primárias), eles provaram ser extremamente difíceis de incorporar em um modelo consistente e coeso. A gravidade é insignificante em muitas áreas da física de partículas, de modo que a unificação entre a relatividade geral e a mecânica quântica não é uma questão urgente nessas aplicações particulares. No entanto, a falta de uma teoria correta da gravidade quântica é uma questão importante na cosmologia física e na busca pelos físicos de uma elegante "Teoria de Tudo". Consequentemente, resolver as inconsistências entre as duas teorias tem sido um dos principais objetivos da física dos séculos XX e XXI. Muitos físicos de destaque, incluindo Stephen Hawking, trabalharam há muitos anos na tentativa de descobrir uma teoria subjacente a tudo. Esta Teoria de Tudo combinaria não apenas os diferentes modelos da física subatômica, mas também derivaria as quatro forças fundamentais da natureza – força forte, eletromagnetismo, força fraca e gravidade – de uma única força ou fenômeno. Enquanto Stephen Hawking acreditava inicialmente na Teoria de Tudo, depois de considerar o Teorema da Incompletude de Gödel, ele concluiu que uma não é obtenível e o declarou publicamente em sua palestra "Gödel e o Fim da Física" (2002).
Tentativas de uma teoria do campo unificado
A busca para unificar as forças fundamentais através da mecânica quântica ainda está em andamento. A eletrodinâmica quântica (ou "eletromagnetismo quântico"), que atualmente é (pelo menos no regime perturbativo) a teoria física mais precisamente testada em competição com a relatividade geral, foi combinada com sucesso com a força nuclear fraca na força eletrofraca atualmente, e atualmente está sendo feito um trabalho para mesclar as forças forte e eletrofraca à força eletroforte. As previsões atuais afirmam que, por volta de 1014 GeV, as três forças mencionadas acima são fundidas em um único campo unificado. Além dessa "grande unificação", especula-se que seja possível mesclar a gravidade com as outras três simetrias de gauge, que devem ocorrer em aproximadamente 1019 GeV. Contudo – e enquanto a relatividade especial é parcimoniosamente incorporada na eletrodinâmica quântica – a relatividade geral expandida, atualmente a melhor teoria que descreve a força da gravitação, não foi totalmente incorporada à teoria quântica. Um dos que procuram uma Teoria de Tudo coerente é Edward Witten, um físico teórico que formulou a teoria M, que é uma tentativa de descrever a teoria das cordas baseada em supersimetria. A teoria M postula que nosso espaço-tempo 4-dimensional aparente é, na realidade, um espaço-tempo 11-dimensional contendo 10 dimensões espaciais e 1 dimensão temporal, embora 7 das dimensões espaciais sejam – em energias mais baixas –completamente "compactadas" (ou infinitamente curvas) e não são facilmente passíveis de medição ou sondagem.
