Álgebra
A álgebra é um ramo da matemática que lida com sistemas abstratos, conhecidos como estruturas algébricas, e com a manipulação de expressões dentro desses sistemas. É uma generalização da aritmética que introduz variáveis e operações algébricas além das operações aritméticas padrão, como a adição e a multiplicação.
A álgebra é o ramo da matemática que estuda as estruturas algébricas e as operações que elas utilizam. Uma estrutura algébrica é um conjunto não vazio de objetos matemáticos, como os inteiros, juntamente com operações algébricas definidas nesse conjunto, como a adição e a multiplicação.[nota 1] A álgebra explora as leis, as características gerais e os tipos de estruturas algébricas. Dentro de certas estruturas algébricas, examina o uso de variáveis em equações e como manipular essas equações.[nota 2] A álgebra é frequentemente entendida como uma generalização da aritmética. A aritmética estuda operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, num domínio particular de números, como os números reais. A álgebra elementar constitui o primeiro nível de abstração. Assim como a aritmética, restringe-se a tipos específicos de números e operações. Ela generaliza essas operações permitindo quantidades indefinidas na forma de variáveis além de números. Um nível maior de abstração é encontrado na álgebra abstrata, que não se limita a um domínio particular e examina estruturas algébricas como grupos e anéis. Ela estende-se além das operações aritméticas típicas, abrangendo também outros tipos de operações. A álgebra universal é ainda mais abstrata, na medida em que não se interessa por estruturas algébricas específicas, mas investiga as características das estruturas algébricas em geral.
De uma forma geral pode-se organizar a álgebra como:
Álgebra elementar
A álgebra elementar, também chamada de álgebra escolar, álgebra universitária e álgebra clássica, é a forma mais antiga e básica de álgebra. É uma generalização da aritmética que se baseia em variáveis e examina como as sentenças matemáticas podem ser transformadas. A aritmética é o estudo das operações numéricas e investiga como os números são combinados e transformados usando as operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação, extração de raízes e logaritmo. Por exemplo, a operação de adição combina dois números, chamados de parcelas, num terceiro número, chamado de soma, como em 2 + 5 = 7 {\displaystyle 2+5=7} .
Álgebra linear
A álgebra linear começa com o estudo de sistemas de equações lineares. Uma equação é linear se puder ser expressa na forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b} , onde a 1 {\displaystyle a_{1}} , a 2 {\displaystyle a_{2}} , ..., a n {\displaystyle a_{n}} e b {\displaystyle b} são constantes. Exemplos são x 1 − 7 x 2 + 3 x 3 = 0 {\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0} e 1 4 x − y = 4 {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4} . Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares para as quais se tem interesse nas soluções comuns. Matrizes são matrizes retangulares (ou arranjos retangulares) de valores que foram originalmente introduzidas para se ter uma notação compacta e sintética para sistemas de equações lineares. Por exemplo, o sistema de equações 9 x 1 + 3 x 2 − 13 x 3 = 0 2 , 3 x 1 + 7 x 3 = 9 − 5 x 1 − 17 x 2 = − 3 {\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2,3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}} pode ser escrito como A X = B , {\displaystyle AX=B,} onde A {\displaystyle A} , X {\displaystyle X} e B {\displaystyle B} são as matrizes A = [ 9 3 − 13 2 , 3 0 7 − 5 − 17 0 ] , X = [ x 1 x 2 x 3 ] , B = [ 0 9 − 3 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2,3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.}
Álgebra abstrata
A álgebra abstrata, também chamada de álgebra moderna, é o estudo das estruturas algébricas. Uma estrutura algébrica é uma estrutura (ou *framework*) para se entender as operações sobre objetos matemáticos, como a adição de números. Enquanto a álgebra elementar e a álgebra linear trabalham dentro dos limites de estruturas algébricas específicas, a álgebra abstrata adota uma abordagem mais geral que compara como as estruturas algébricas diferem umas das outras e quais os tipos de estruturas algébricas que existem, como grupos, anéis e corpos. A principal diferença entre esses tipos de estruturas algébricas reside no número de operações que elas usam e nas leis a que obedecem. Na educação matemática, a álgebra abstrata refere-se a um curso avançado de graduação que os estudantes de matemática realizam depois de completarem os cursos de álgebra linear.
A origem da álgebra reside nas tentativas de resolver problemas matemáticos envolvendo cálculos aritméticos e quantidades desconhecidas. Estes desenvolvimentos ocorreram na Antiguidade na Babilônia, no Egito, na Grécia, na China e na Índia. Um dos primeiros documentos sobre problemas algébricos é o Papiro Matemático de Rhind do antigo Egito, que foi escrito por volta de 1650 a.C.[nota 19] Ele discute soluções para equações lineares, conforme expresso em problemas como "Uma quantidade; a sua quarta parte é adicionada a ela. Torna-se quinze. Qual é a quantidade?". As tabuletas de argila babilônicas da mesma época explicam métodos para resolver equações lineares e equações polinomiais quadráticas, como o método de completamento do quadrado. Muitas destas perceções chegaram aos antigos gregos. A partir do século VI a.C., o seu principal interesse era a geometria em vez da álgebra, mas eles empregaram métodos algébricos para resolver problemas geométricos. Por exemplo, estudaram figuras geométricas tomando os seus comprimentos e áreas como quantidades desconhecidas a serem determinadas, como exemplificado na formulação de Pitágoras do método da diferença de dois quadrados e, mais tarde, n'Os Elementos de Euclides. No século III d.C., Diofanto forneceu um tratamento detalhado de como resolver equações algébricas numa série de livros chamada Aritmética. Ele foi o primeiro a fazer experiências com notação simbólica para expressar polinômios. A obra de Diofanto influenciou o desenvolvimento árabe da álgebra, com muitos dos seus métodos refletidos nos conceitos e técnicas usados na álgebra árabe medieval. Na China antiga, Os Nove Capítulos da Arte Matemática, um livro composto durante o período que se estende do século X a.C. ao século II d.C., explorou várias técnicas para resolver equações algébricas, incluindo o uso de construções semelhantes a matrizes.
A influência da álgebra é de grande alcance, tanto dentro da matemática quanto em suas aplicações em outros campos. A algebrização da matemática é o processo de aplicação de métodos e princípios algébricos a outros ramos da matemática, como a geometria, a topologia, a teoria dos números e o cálculo. Isso ocorre através do emprego de símbolos na forma de variáveis para expressar os preceitos matemáticos num nível mais geral, permitindo aos matemáticos desenvolver modelos formais que descrevem a forma como os objetos interagem e se relacionam entre si. Uma aplicação encontrada na geometria é o uso de sentenças algébricas para descrever figuras geométricas. Por exemplo, a equação y = 3 x − 7 {\displaystyle y=3x-7} descreve uma reta no espaço bidimensional, enquanto a equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} corresponde a uma esfera no espaço tridimensional. De especial interesse para a geometria algébrica são as variedades algébricas,[nota 22] que são soluções para sistemas de equações polinomiais que podem ser usadas para descrever figuras geométricas mais complexas. O raciocínio algébrico também pode resolver problemas geométricos. Por exemplo, é possível determinar se e onde a reta descrita por y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} intercepta a circunferência descrita por x 2 + y 2 = 25 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=25} ao se resolver o sistema de equações composto por estas duas equações. A topologia estuda as propriedades de figuras geométricas ou espaços topológicos que são preservadas sob operações de deformação contínua. A topologia algébrica baseia-se em teorias algébricas, como a teoria dos grupos, para classificar espaços topológicos. Por exemplo, os grupos de homotopia classificam os espaços topológicos com base na existência de laços ou buracos dentro deles.
O ensino da álgebra concentra-se principalmente na álgebra elementar, que é uma das razões pelas quais a álgebra elementar também é chamada de álgebra escolar. Normalmente ela não é introduzida até ao ensino secundário (ou ensino médio), uma vez que requer o domínio dos fundamentos da aritmética, ao mesmo tempo que apresenta novos desafios cognitivos associados ao raciocínio abstrato e à generalização. Tem como objetivo familiarizar os estudantes com o lado formal da matemática, ajudando-os a compreender o simbolismo matemático; por exemplo, como as variáveis podem ser usadas para representar quantidades desconhecidas. Uma dificuldade adicional para os alunos reside no fato de que, ao contrário dos cálculos aritméticos, as expressões algébricas são muitas vezes difíceis de se resolver diretamente. Em vez disso, os alunos precisam de aprender como transformá-las de acordo com certas leis, frequentemente para determinar uma quantidade desconhecida.
