Função holomorfa
Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo com valores em que são diferenciáveis em cada ponto.
Números complexos
Os números complexos expandem o domínio dos números reais através da adição dos chamados números imaginários. Estes devem ter a propriedade de resolver equações algébricas que não têm solução nos reais. Um exemplo é a equação quadrática x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} . Esta não possui uma solução real, uma vez que o quadrado de um número real é sempre não negativo. Contudo, se adicionarmos aos números reais um número imaginário i {\displaystyle i} com a propriedade i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} , a equação acima pode ser resolvida. [Image of complex plane with real and imaginary axes] Enquanto os números reais formam uma reta numérica, os números complexos estendem-se por um plano. Cada número complexo z {\displaystyle z} é da forma z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} com números reais x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} . Se percorrermos x {\displaystyle x} passos na "direção real" e y {\displaystyle y} passos na "direção imaginária", o número complexo x + i y {\displaystyle x+iy} é identificado com o ponto ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} no plano euclidiano. Nisto, x {\displaystyle x} é designado por parte real e y {\displaystyle y} por parte imaginária de z {\displaystyle z} .
Funções complexas
A holomorfia é uma propriedade de funções complexas. De forma muito geral, uma função estabelece uma relação entre dois conjuntos M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} através de uma regra de correspondência. As funções f : M → N {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} têm de satisfazer a regra de que a cada elemento de M {\displaystyle M} é atribuído exatamente um elemento em N {\displaystyle N} . Alguns exemplos de funções reais podem ser transferidos diretamente para os números complexos. Entre estes encontra-se, por exemplo, a função quadrática f ( z ) = z 2 {\displaystyle f(z)=z^{2}} . As funções reais induzem dados tabulares da forma ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} , onde os valores de entrada x {\displaystyle x} percorrem o domínio de f {\displaystyle f} . A analogia com uma Tabela surge do facto de os dados x {\displaystyle x} e f ( x ) {\displaystyle f(x)} poderem ser compilados em formato de linha ou coluna. No entanto, não é possível inserir todos os valores de uma função real numa tabela, visto que, por exemplo, já não é possível listar todos os valores 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} . Todos os intervalos reais não vazios são não enumeráveis. Por conseguinte, a representação de uma função real através de um gráfico é comum. Para isso, tira-se partido de o domínio ser uma parte de uma reta numérica, bem como o contradomínio. Logo, a informação ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} reúne-se em pontos ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} num plano bidimensional. Se os destacarmos no plano, obtemos uma visão geral do comportamento de uma função real.
Da diferenciabilidade real à complexa
Como os cálculos com números complexos podem ser feitos essencialmente da mesma forma que com números reais, coloca-se a questão de até que ponto a análise real, com conceitos como funções, derivadas ou mesmo integrais, pode ser estendida aos números complexos. Nos números reais, uma função f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } é diferenciável (derivável) num ponto a {\displaystyle a} se puder ser linearizada nesse ponto. Isto significa que, à volta de a {\displaystyle a} , ela comporta-se de forma muito semelhante a uma função linear x ↦ m ( x − a ) + c {\displaystyle x\mapsto m(x-a)+c} . Portanto, para valores de h {\displaystyle h} muito pequenos, aplica-se a aproximação f ( a + h ) ≈ m h + c {\displaystyle f(a+h)\approx mh+c} , onde com h = 0 {\displaystyle h=0} se obtém também c = f ( a ) {\displaystyle c=f(a)} . Para definir com precisão os conceitos de "linearização", "muito semelhante" e "aproximação", recorre-se ao conceito de limite. Por conseguinte, f {\displaystyle f} é diferenciável em a {\displaystyle a} se e só se o quociente de diferenças
Ilustração
Dizer que uma função complexa f {\displaystyle f} é holomorfa no seu domínio de definição significa que ela é complexamente diferenciável em cada ponto. Devido à condição já por si restritiva da diferenciabilidade complexa (em vez de apenas real), aliada à sua validade para todos os pontos numa superfície em vez de apenas num intervalo (uma linha), a holomorfia é uma propriedade extremamente forte. Um problema central da análise consiste em estudar funções "complicadas". Aqui, "complicada" significa, por exemplo, que a regra de cálculo não consiste numa sequência finita de aplicações das quatro operações aritméticas básicas. Uma regra "simples" neste sentido seria: multiplica o número de entrada por dois, soma um ao resultado, multiplica isto por si mesmo e divide tudo por três. Em forma abreviada: z ↦ 1 3 ( 2 z + 1 ) 2 {\displaystyle \textstyle z\mapsto {\frac {1}{3}}(2z+1)^{2}} .
Enquadramento das possíveis aplicações
As funções holomorfas também têm importância em aplicações para integrais reais. É possível calcular alguns integrais importantes sem ser necessário especificar uma função primitiva. Entre estes, encontra-se, por exemplo, sendo de notar que, para t ↦ e − t 2 {\displaystyle t\mapsto \mathrm {e} ^{-t^{2}}} , não pode ser indicada qualquer função primitiva elementar em forma fechada. Integrais como o referido desempenham um papel na Teoria das probabilidades, neste caso, no âmbito da Distribuição normal de Gauss. Na análise, que se ocupa dos limites de funções ou sucessões numéricas, surgem também as séries. Estas são sucessões especiais, expressas através de somas infinitas a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots } . Quando os sumandos a n {\displaystyle a_{n}} diminuem de magnitude com rapidez suficiente, a série em questão possui um limite. Um exemplo é:
A expressão "holomorfa num (conjunto aberto) U {\displaystyle U} " para significar "complexamente diferenciável em todos os pontos em U {\displaystyle U} " consolidou-se na literatura alemã apenas nas últimas décadas. Ainda em autores como Marvin Knopp, por exemplo, o uso dos termos "regular" ou "analítica" era o habitual. Este último, contudo, continua a ser utilizado de forma consistente nalguns manuais até aos dias de hoje, como por exemplo por Eberhard Freitag. A palavra "holomorfa" foi introduzida no ano de 1875 pelos matemáticos Charles Briot e Jean-Claude Bouquet no âmbito da sua obra Théorie des fonctions elliptiques. Trata-se do primeiro manual didático sobre análise complexa (teoria das funções). Contudo, o termo "holomorfa" apenas surgiu na segunda edição; na primeira edição, eles ainda utilizavam a designação "sinética" (do francês synectique), que remonta a Cauchy.
São utilizadas as seguintes notações ao longo de todo o artigo:
Alguns resultados clássicos da análise real possuem equivalentes no domínio complexo. Seja f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } uma função holomorfa num domínio convexo D {\displaystyle D} , e a , b ∈ D {\displaystyle a,b\in D} com a ≠ b {\displaystyle a\not =b} . Então existem De certo modo, isto pode ser estendido ao plano complexo, embora se deva prescindir de estruturas em forma de intervalo. Se f {\displaystyle f} for holomorfa num subconjunto aberto U ⊆ C {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } e z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} for um ponto (interior), então em qualquer vizinhança z 0 ∈ V ⊆ U {\displaystyle z_{0}\in V\subseteq U} existe um par z 2 ≠ z 1 {\displaystyle z_{2}\not =z_{1}} tal que Para que seja garantido que estes se encontrem numa reta com z 0 {\displaystyle z_{0}} , é em geral suficiente, mas também necessário, que f {\displaystyle f} seja uma função constante, linear ou quadrática.
ℂ como espaço topológico
A Norma euclidiana induz uma topologia nos números complexos. De forma análoga a R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , aplica-se à norma a relação | x + i y | = x 2 + y 2 {\displaystyle |x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} . Um conjunto U ⊂ C {\displaystyle U\subset \mathbb {C} } diz-se aberto se cada ponto z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} for um ponto interior. Para cada z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} existe, portanto, um ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} tal que o disco (círculo) aberto B ε ( z 0 ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(z_{0})} está totalmente contido em U {\displaystyle U} . Tem-se assim Para a definição da diferenciabilidade complexa, o conceito de conjunto aberto é essencial. Este assegura que, para cada ponto do domínio, o comportamento da função pode ser estudado numa vizinhança desse ponto.
Definição
Seja U ⊆ C {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } um subconjunto aberto do plano complexo e z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} um ponto desse subconjunto. Uma função f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } diz-se complexamente diferenciável no ponto z 0 {\displaystyle z_{0}} se o limite existir. Este é então designado por f ′ ( z 0 ) {\displaystyle f'(z_{0})} . Nesta definição, deve notar-se que o limite lim h → 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{h\to 0}} representa uma aproximação a partir de qualquer direção no plano complexo. De forma equivalente, isto significa que para qualquer sucessão nula complexa h n {\displaystyle h_{n}} , com h n ≠ 0 {\displaystyle h_{n}\not =0} para todo o n {\displaystyle n} , o valor
Comparação com a diferenciabilidade real e as equações de Cauchy-Riemann
Toda a função a valores complexos f {\displaystyle f} pode ser escrita na forma f ( z ) = Re ( f ( z ) ) + i Im ( f ( z ) ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=\operatorname {Re} (f(z))+i\operatorname {Im} (f(z))=u(x,y)+i\ v(x,y)} . Nisto, u , v : R 2 → R {\displaystyle u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } são aplicações a valores reais. Diz-se que f {\displaystyle f} é realmente diferenciável (ou diferenciável no sentido real) num ponto z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+i\ y_{0}} se e só se onde os termos de erro o {\displaystyle o} , veja-se a notação pequeno-o de Landau, tendem para 0 à medida que Δ x , Δ y {\displaystyle \Delta x,\Delta y} se tornam menores. Aplica-se portanto
Holomorfia
A diferenciabilidade complexa num único ponto ainda não oferece muita estrutura. Importante para a teoria das funções (análise complexa) é o caso em que uma função é complexamente diferenciável na sua totalidade. A função f {\displaystyle f} diz-se holomorfa em U {\displaystyle U} caso seja complexamente diferenciável em cada ponto z ∈ U {\displaystyle z\in U} . Se, além disso, se verificar U = C {\displaystyle U=\mathbb {C} } , então f {\displaystyle f} é chamada de função inteira. Na literatura da especialidade, os termos holomorfo e analítico são frequentemente utilizados como sinónimos. Isto tem o pano de fundo, de forma alguma trivial, de que uma função holomorfa em U {\displaystyle U} é uma função analítica em U {\displaystyle U} , e vice-versa.
Regras de derivação
Se f , g : U → C {\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {C} } forem complexamente diferenciáveis num ponto z ∈ U {\displaystyle z\in U} , também o são f + g {\displaystyle f+g} , f − g {\displaystyle f-g} e f ⋅ g {\displaystyle f\cdot g} . Isto também é válido para f g {\displaystyle {\tfrac {f}{g}}} , desde que z {\displaystyle z} não seja um zero (raiz) de g {\displaystyle g} . Aplicam-se ainda a regra da soma, a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia.
Preservação de ângulos e orientação
Uma aplicação complexa preserva os ângulos (é isogonal) se mapear dois segmentos de reta que se intersetam num ponto em dois novos segmentos de reta que se intersetam com o mesmo ângulo. Por exemplo, as rotações são aplicações que preservam os ângulos. Funções holomorfas que não são localmente constantes preservam os ângulos em todos os pontos do seu domínio, à exceção de um subconjunto discreto. Na sua essência, as funções holomorfas são inclusivamente caracterizadas por esta propriedade. Se se exigir adicionalmente a preservação da orientação (conformidade), isto é, que para f = u + i v {\displaystyle f=u+iv} o determinante jacobiano seja positivo em todos os pontos (salvo num conjunto discreto), então f {\displaystyle f} já é holomorfa.
Integrais de contorno complexos
A teoria da integração no domínio complexo difere da do domínio real nalguns aspetos. A característica principal é o problema de que, num plano, existem infinitas formas de se "mover" de um ponto a {\displaystyle a} para um ponto b {\displaystyle b} . Nos números reais (se ignorarmos movimentos nulos para trás) existe sempre apenas uma possibilidade ao longo da reta numérica. O elevado número de caminhos de integração entre a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} obriga a expandir o conceito de integral para o chamado integral de linha (ou integral de contorno). Isto significa que um integral depende inicialmente não só dos pontos inicial e final, mas também da escolha da curva.
Cálculo integral
com pontos extremos γ ( 0 ) = a {\displaystyle \gamma (0)=a} e γ ( 1 ) = b {\displaystyle \gamma (1)=b} dependerá, de uma forma geral, não só de f {\displaystyle f} , mas também da escolha da curva γ {\displaystyle \gamma } . Este é o caso quando a função f {\displaystyle f} não possui uma primitiva complexa F {\displaystyle F} . Se, por outro lado, esta existir, tem-se e a última igualdade mostra que o valor do integral já não depende de γ {\displaystyle \gamma } . De forma análoga ao domínio real, demonstra-se que o conceito de primitiva pode ser novamente entendido como o inverso da derivação. No entanto, como o ponto de partida é um domínio D {\displaystyle D} , ou seja, uma "superfície", a função primitiva F {\displaystyle F} tem de ser complexamente diferenciável em todo o D {\displaystyle D} , logo, holomorfa. Com isto, F {\displaystyle F} já é infinitamente diferenciável no sentido complexo, e conclui-se que, necessariamente, também a sua derivada f {\displaystyle f} teve de ser uma função holomorfa em D {\displaystyle D} . Revela-se mais uma vez a força do conceito de holomorfia. Devido à existência "independente da direção" do quociente de diferenças, o cálculo de um integral de linha devolve sempre o mesmo valor, independentemente da direção escolhida. Pode-se então escrever
Teorema integral de Cauchy
Se D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } for simplesmente conexo, ou seja, um domínio elementar, e γ {\displaystyle \gamma } for um ciclo em D {\displaystyle D} , então aplica-se o teorema integral de Cauchy O teorema aplica-se, portanto, em particular quando D {\displaystyle D} é um domínio estrelado e γ {\displaystyle \gamma } é um caminho fechado.
Teorema de Morera
Nem toda a função holomorfa num conjunto aberto possui uma primitiva. No entanto, toda a função holomorfa possui uma primitiva local. Este é simultaneamente um critério suficiente para a holomorfia global. Constitui ainda uma inversão do teorema integral de Cauchy, embora de forma atenuada. Se D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } for aberto e f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } contínua, e se para qualquer caminho triangular ⟨ z 1 , z 2 , z 3 ⟩ {\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle } cuja área triangular Δ {\displaystyle \Delta } esteja totalmente contida em D {\displaystyle D} , se verificar
Corolários elementares
Com a ajuda da teoria da integração de funções holomorfas, é possível fazer afirmações sobre a estrutura das funções holomorfas em domínios elementares. Se f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } for, por exemplo, holomorfa e não tiver zeros no domínio elementar D {\displaystyle D} , existe uma função holomorfa g : D → C {\displaystyle g\colon D\to \mathbb {C} } com a propriedade f = e g {\displaystyle f=e^{g}} . Um tal g {\displaystyle g} é também designado por ramo analítico do logaritmo de f {\displaystyle f} . Um corolário direto é a afirmação de que f {\displaystyle f} possui de igual modo uma n {\displaystyle n} -ésima raiz, com n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , em D {\displaystyle D} , havendo portanto um h : D → C {\displaystyle h\colon D\to \mathbb {C} } holomorfo com f = h n {\displaystyle f=h^{n}} .
Fórmula integral de Cauchy
No ano de 1831, Augustin-Louis Cauchy encontrou no seu exílio em Turim uma fórmula integral que permite reconstruir uma função holomorfa com a ajuda dos "valores de fronteira do seu domínio". Ela é de grande importância na teoria das funções holomorfas. Seja U {\displaystyle U} aberto, B r ( a ) {\displaystyle B_{r}(a)} o disco aberto de raio r {\displaystyle r} centrado no ponto a ∈ U {\displaystyle a\in U} e f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } uma função holomorfa. Se o fecho de B r ( a ) {\displaystyle B_{r}(a)} estiver ainda totalmente contido em U {\displaystyle U} , então aplica-se a todos os z ∈ D {\displaystyle z\in D} a fórmula integral de Cauchy
Holomorfia e analiticidade
Um resultado central da análise complexa é que as funções holomorfas são analíticas. Isso significa que em cada ponto do seu domínio (aberto) de definição, elas podem ser desenvolvidas numa série de potências que converge num disco circular aberto e aí representa a função. De forma mais precisa, aplica-se o teorema da expansão de Cauchy: Se c ∈ U {\displaystyle c\in U} com U {\displaystyle U} aberto, se B r ( c ) {\displaystyle B_{r}(c)} for o maior disco circular em torno de c {\displaystyle c} contido em U {\displaystyle U} e se f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } for holomorfa, então f {\displaystyle f} pode ser desenvolvida em torno de c {\displaystyle c} numa série de Taylor ∑ n = 0 ∞ a n ( z − c ) n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}} , a qual converge de forma absoluta e uniforme em subconjuntos compactos de B r ( c ) {\displaystyle B_{r}(c)} . Os coeficientes são dados por
Cálculo do raio de convergência
O raio de convergência de uma série de potências f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( z − c ) n {\displaystyle \textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}} , convergente algures fora do seu centro de desenvolvimento, define-se como o número R > 0 {\displaystyle R>0} tal que f ( z ) {\displaystyle f(z)} converge para todo o | z − c | < R {\displaystyle |z-c|<R} e diverge para todo o | z − c | > R {\displaystyle |z-c|>R} . O número R {\displaystyle R} não pode fornecer qualquer informação sobre o comportamento de convergência na fronteira do disco circular, podendo este variar significativamente. Nos exemplos seguintes, todas as séries de potências têm raio de convergência 1, mas comportamentos diferentes na fronteira do domínio de convergência:
Estimativa do termo complementar (Resto)
No caso de funções holomorfas, o teorema de Taylor pode ser tornado "efetivo". Se f {\displaystyle f} for holomorfa dentro de um conjunto aberto que contenha o disco circular B R ( 0 ) ¯ {\displaystyle {\overline {B_{R}(0)}}} , então para todo o | z | < R {\displaystyle |z|<R} aplica-se Daí decorre para | z | < R {\displaystyle |z|<R} a estimativa do termo complementar Se z {\displaystyle z} for suficientemente pequeno, por exemplo | z | < R 2 {\displaystyle |z|<{\tfrac {R}{2}}} , isto pode ser simplificadamente expresso por onde a constante implícita depende de R {\displaystyle R} e N {\displaystyle N} , mas não de z {\displaystyle z} nem de f {\displaystyle f} .
Convergência e domínio de holomorfia
A localidade significa que não é obrigatório que a série de potências represente a função em todo o seu domínio de definição. Por exemplo, consideremos com centro de desenvolvimento em 0, mas a série apenas converge para valores | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} . Na verdade, a função à esquerda possui uma singularidade em z = 1 {\displaystyle z=1} e, de resto, é holomorfa em C ∖ { 1 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} , razão pela qual o raio de convergência da série é exatamente R = 1 {\displaystyle R=1} . Portanto, embora f ( 2 ) = − 1 {\displaystyle f(2)=-1} esteja definida, a série já não representará a função no ponto z = 2 {\displaystyle z=2} . Devido a esta propriedade das séries de potências, deve-se sempre prestar atenção à regra exata da função. Só porque a série converge para os valores z {\displaystyle z} que estão suficientemente perto do centro de desenvolvimento, isso não significa que aí a função ainda esteja definida pela sua regra (holomorfa) original. Por exemplo, para a função f : B 1 ( 0 ) ∪ B 1 ( 3 ) → C {\displaystyle f\colon B_{1}(0)\cup B_{1}(3)\to \mathbb {C} } dada por
Teorema da expansão de Laurent
A série de Laurent generaliza o conceito de série de potências na medida em que expoentes negativos também são permitidos. Pode demonstrar-se, utilizando o teorema integral de Cauchy para domínios estrelados, que as funções holomorfas em domínios anelares (coroas circulares) podem ser desenvolvidas em séries de Laurent. Toda a função holomorfa f {\displaystyle f} num domínio anelar onde g : B R ( 0 ) → C {\displaystyle g\colon B_{R}(0)\to \mathbb {C} } e h : B 1 r ( 0 ) → C {\displaystyle \textstyle h\colon B_{\frac {1}{r}}(0)\to \mathbb {C} } são funções holomorfas. Com a exigência h ( 0 ) = 0 {\displaystyle h(0)=0} , esta decomposição torna-se única. Em particular, as funções holomorfas em domínios anelares com raios 0 ≤ r < R ≤ ∞ {\displaystyle 0\leq r<R\leq \infty } e centro c {\displaystyle c} podem ser desenvolvidas em séries de Laurent:
Séries de Fourier complexas
Um caso particular ocorre quando uma função holomorfa é, em simultâneo, uma função periódica. Para isso, é suficiente considerar o período 1. Se f {\displaystyle f} for holomorfa na faixa aberta e periódica de período 1, ou seja, aplicando-se sempre f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+1)=f(z)} , então f {\displaystyle f} possui um desenvolvimento de Fourier Esta série é convergente de forma absoluta e localmente uniforme em todo o D {\displaystyle D} . O cálculo dos coeficientes, para cada a < y < b {\displaystyle a<y<b} , é possível através de
Exemplos de funções holomorfas são os polinómios, dado que estes são obtidos através de operações algébricas simples (adição e multiplicação). Por exemplo, para a função f ( z ) = z 2 {\displaystyle f(z)=z^{2}} , o quociente diferencial é Seguindo este princípio, todos os polinómios são funções holomorfas. No entanto, coloca-se a questão de saber se existem, para além destes, outras funções holomorfas e que aspeto têm. Muitas funções diferenciáveis no domínio real, como a função módulo (exceto no ponto 0), não são holomorfas. Por exemplo, tem-se uma vez que o lado direito, se existir, não é um número real, enquanto o lado esquerdo o é. Toda a Função polinomial p ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}} é uma função holomorfa em todo o C {\displaystyle \mathbb {C} } . As funções polinomiais são precisamente as séries de potências cujos coeficientes, com a exceção de um número finito deles (Quase todos), se anulam. Como tal, elas são também as únicas funções inteiras que, se não forem constantes, possuem no ponto no infinito um polo e não uma Singularidade essencial.
Função exponencial
A função exponencial natural x ↦ e x {\displaystyle x\mapsto e^{x}} , inicialmente definida nos números reais, possui um prolongamento holomorfo em todo o C {\displaystyle \mathbb {C} } . Aí, ela pode ser definida, tal como nos números reais, através da sua série de potências: Ela satisfaz, para todos os z , w ∈ C {\displaystyle z,w\in \mathbb {C} } , a equação funcional e z + w = e z e w {\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}} e verifica-se ( e z ) ′ = e z {\displaystyle (e^{z})'=e^{z}} , ou seja, é igual à sua própria derivada. Só no domínio dos números complexos é que a relação estreita entre a função exponencial e as funções trigonométricas se torna visível. Esta relação pode ser deduzida por meio dos desenvolvimentos em série de potências e de uma comparação dos coeficientes, acarretando consequências importantes para a geometria dos números complexos e para a matemática em geral. A relação, descoberta pela primeira vez por Leonhard Euler e também designada por Fórmula de Euler, é expressa por
Logaritmo
A função exponencial complexa z ↦ exp ( z ) {\displaystyle z\mapsto \exp(z)} , vista globalmente, não é injetiva, razão pela qual, enquanto função inteira, não é invertível. Contudo, ao restringi-la ao domínio − π < Im ( z ) ≤ π {\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (z)\leq \pi } , a injetividade pode ser restabelecida. Como este domínio não é aberto – por exemplo, z = π i {\displaystyle z=\pi i} não é um ponto interior –, é conveniente transitar para a faixa aberta ou seja, a imagem da restrição corresponde exatamente ao plano complexo com exceção dos números reais não positivos. Sendo uma função holomorfa bijetiva entre dois conjuntos abertos, a sua função inversa, conhecida como o ramo principal do logaritmo, é de novo holomorfa. Esta é denotada como L o g : C − → S {\displaystyle \mathrm {Log} \colon \mathbb {C} _{-}\rightarrow S} , e aplica-se exp ( L o g ( z ) ) = z {\displaystyle \exp(\mathrm {Log} (z))=z} em todo o domínio C − {\displaystyle \mathbb {C} _{-}} . A utilização do termo ramo principal baseia-se no facto de que a escolha da faixa S {\displaystyle S} é óbvia, mas de forma alguma única. Poder-se-ia, por exemplo, ter escolhido a faixa π < Im ( z ) < 3 π {\displaystyle \pi <\operatorname {Im} (z)<3\pi } – isto justifica-se pela periodicidade 2 π i {\displaystyle 2\pi i} da função exponencial complexa. Devido à fórmula de Euler, o logaritmo complexo está relacionado com o valor principal do argumento A r g ( z ) {\displaystyle \mathrm {Arg} (z)} através da relação
Funções trigonométricas e hiperbólicas
Sendo composições de funções exponenciais, as funções Seno e cosseno e as funções seno e cosseno hiperbólicos são funções inteiras. A título de exemplo, aplica-se e esta é uma função inteira. Em contraste, as funções Tangente e cotangente e tangente e cotangente hiperbólicas não são funções inteiras, mas sim funções meromorfas em todo o C {\displaystyle \mathbb {C} } , ou seja, holomorfas à exceção de um conjunto discreto de polos. Por exemplo, a tangente hiperbólica no domínio complexo tem o conjunto de polos { 2 k + 1 2 π i ∣ k ∈ Z } {\displaystyle \{{\tfrac {2k+1}{2}}\pi i\mid k\in \mathbb {Z} \}} .
Funções trigonométricas inversas e funções de área
As funções trigonométricas inversas podem ser prolongadas holisticamente para o disco unitário aberto, consideradas em torno do ponto z = 0 {\displaystyle z=0} . Por exemplo, define-se O integrando é uma função holomorfa no disco unitário aberto, razão pela qual o integral representa novamente uma função holomorfa.
Funções de potência arbitrárias
As funções de potência arbitrárias também podem ser compreendidas no plano complexo através do logaritmo complexo. No entanto, estas, de um modo geral, não constituem funções inteiras. Seja s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } arbitrário, define-se para z ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} Enquanto composição de funções holomorfas, esta representa uma função holomorfa no domínio elementar C ∖ R ≤ 0 {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}} . Nalgumas aplicações, todavia, afigura-se mais vantajoso eleger o semieixo real positivo como sendo a linha de descontinuidade. Opta-se, então, em alternativa, por fixar
Funções não complexamente diferenciáveis em parte alguma
Não são diferenciáveis no sentido complexo em nenhum z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } e, por isso, em lado nenhum são holomorfas, por exemplo: A função z ↦ | z | 2 {\displaystyle z\mapsto |z|^{2}} é complexamente diferenciável unicamente no ponto z = 0 {\displaystyle z=0} , mas aí não é holomorfa, uma vez que não é complexamente diferenciável em toda uma vizinhança de 0 {\displaystyle 0} .
Se U ⊆ C {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } for aberto, então as seguintes propriedades de funções complexas f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } são equivalentes:
Em contraste com funções reais diferenciáveis arbitrárias, as funções holomorfas têm um comportamento de zeros muito controlado. O pano de fundo é o chamado teorema da identidade para funções holomorfas, que assegura que uma função holomorfa não constante num domínio D {\displaystyle D} não pode acumular valores no seu interior. Em particular, aplica-se: se a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } e f : D → C {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} } for holomorfa e não constante, então cada uma das pré-imagens designadas por fibras é localmente finita em D {\displaystyle D} , e deduz-se que f {\displaystyle f} possui apenas, no máximo, um número enumerável dos chamados pontos a {\displaystyle a} . De particular interesse é o caso a = 0 {\displaystyle a=0} , ou seja, exatamente os zeros de f {\displaystyle f} .
Teorema de Rouché
Sejam f , g {\displaystyle f,g} funções holomorfas num domínio elementar D {\displaystyle D} e γ {\displaystyle \gamma } uma curva fechada seccionalmente suave em D {\displaystyle D} , de tal modo que esta contorne cada ponto no seu interior exatamente uma vez no sentido positivo. Suponhamos que se verifica | g ( z ) | < | f ( z ) | {\displaystyle |g(z)|<|f(z)|} para todo o z ∈ γ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle z\in \gamma ([0,1])} . Então, as funções f {\displaystyle f} e f + g {\displaystyle f+g} não têm zeros em γ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \gamma ([0,1])} e, contadas as multiplicidades, possuem o mesmo número de zeros no interior da curva.
Fórmula de Jensen
A fórmula de Jensen estabelece uma relação entre o crescimento de uma função holomorfa nas fronteiras de discos circulares e a distribuição dos seus zeros. Se f ≠ 0 {\displaystyle f\not =0} for uma função holomorfa num domínio D {\displaystyle D} , de tal forma que D {\displaystyle D} contenha o disco circular B r ( 0 ) ¯ {\displaystyle {\overline {B_{r}(0)}}} , e se z 1 , z 2 , … , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}} forem os zeros de f {\displaystyle f} em B r ( 0 ) {\displaystyle B_{r}(0)} (repetidos de acordo com a sua multiplicidade), então, com f ( 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(0)\not =0} , já se verifica Uma generalização é constituída pela fórmula de Poisson-Jensen, que é aplicável sob as premissas acima para cada | z | < r {\displaystyle |z|<r} com f ( z ) ≠ 0 {\displaystyle f(z)\not =0} :
