Superfície de revolução
Uma superfície de revolução é uma superfície no espaço euclidiano criada pela rotação de uma curva em torno de um eixo de rotação.
As seções da superfície de revolução feitas por planos através do eixo são chamadas seções meridionais. Qualquer seção meridional pode ser considerada a geratriz no plano determinado por ela e o eixo. As seções da superfície da revolução feitas por planos perpendiculares ao eixo são círculos. Alguns casos especiais de hiperboloides (de uma ou duas folhas) e paraboloides elípticos são superfícies de revolução. Elas podem ser identificadas como aquelas superfícies quadráticas, cujas seções transversais perpendiculares ao eixo são circulares.
Se a curva contínua é descrita pela função y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b {\displaystyle y=f(x),a\leq x\leq b} , a integral se torna para a revolução em torno do eixo x {\displaystyle x} , e para rotação em torno do eixo y {\displaystyle y} (fornecido a ≥ 0 {\displaystyle a\geq 0} ). Estes vêm da fórmula acima.
Equações paramétricas
Se a curva é descrita pelas funções paramétricas x ( t ) {\displaystyle x(t)} , y ( t ) {\displaystyle y(t)} , com t {\displaystyle t} variando em algum intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , e o eixo de revolução é o eixo y {\displaystyle y} , então a área A y {\displaystyle A_{y}} é dada pela integral desde que x ( t ) {\displaystyle x(t)} nunca seja negativo entre os pontos de extremidade a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} . Esta fórmula é o equivalente de cálculo do teorema do centroide de Pappus. A quantidade vem do teorema de Pitágoras e representa um pequeno segmento do arco da curva, como na fórmula de comprimento do arco. A quantidade 2 π x ( t ) {\displaystyle 2\pi x(t)} é o caminho (do centróide) desse pequeno segmento, conforme exigido pelo teorema de Pappus.
Exemplo
Por exemplo, a superfície esférica com raio unitário é gerada pela curva y ( t ) = sen ( t ) {\displaystyle y(t)=\operatorname {sen}(t)} , x ( t ) = cos ( t ) {\displaystyle x(t)=\cos(t)} , quando t {\displaystyle t} varia acima de [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} . Sua área é, portanto, Para o caso da curva esférica com raio r {\displaystyle r} , y ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle y(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} girado em torno do eixo x {\displaystyle x}
Uma superfície mínima de revolução é a superfície de revolução da curva entre dois pontos dados, o que minimiza a área de superfície. Um problema básico no cálculo das variações é encontrar a curva entre dois pontos que produz essa superfície mínima de revolução. Existem apenas duas superfícies mínimas de revolução (superfícies de revolução que também são superfícies mínimas): o plano e a catenoide.
Para gerar uma superfície de revolução a partir de qualquer função escalar bidimensional y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} , simplesmente faça de u {\displaystyle u} o parâmetro da função, defina o eixo da função de rotação como simplesmente u {\displaystyle u} e, em seguida, use v {\displaystyle v} para girar a função ao redor do eixo, definindo as outras duas funções são iguais a f ( u ) sen v {\displaystyle f(u)\operatorname {sen} v} e f ( u ) cos v {\displaystyle f(u)\cos v} . Por exemplo, para rotacionar uma função y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} em torno do eixo x {\displaystyle x} , iniciando no topo do plano x z {\displaystyle xz} , parametrize-o como para u = x {\displaystyle u=x} e v ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle v\in [0,2\pi ]} .
Os meridianos são sempre geodésicos em uma superfície de revolução. Outras geodésicas são governadas pela relação de Clairaut.
Uma superfície de revolução com um orifício, onde o eixo de revolução não cruza a superfície, é chamada de toroide. Por exemplo, quando um retângulo é girado em torno de um eixo paralelo a uma de suas arestas, um anel de seção quadrada oca é produzido. Se a figura revolvida é um círculo, o objeto é chamado de toro.
O uso de superfícies de revolução é essencial em muitos campos da física e da engenharia. Quando determinados objetos são projetados digitalmente, revoluções como essas podem ser usadas para determinar a área de superfície sem o uso de medir o comprimento e o raio do objeto que está sendo projetado.
