Cilindro
Em Geometria, um cilindro é o objeto tridimensional delimitado pela superfície de translação completa de um segmento de reta que se move paralelamente a si mesmo, e se apoia em uma circunferência. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aparência redonda, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. Ao considerar-se um prisma de base regular, e fazer o número de lados/vértices da base tender ao infinito, o prisma tenderá a um cilindro.
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Os cilindros podem ser divididos em duas categorias, referentes ao ângulo entre a sua altura e o plano da base: E, referente à relação entre a altura e o raio da base, apenas uma categoria relevante de classificação:
Cilindro reto
Para um cilindro reto de raio r {\displaystyle r} e altura h {\displaystyle h} ,
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Área mínima
Dado um volume fixo, pode-se descobrir qual a razão entre a altura e o raio de um cilindro reto para que a área seja mínima. Calcular a área mínima é útil em problemas de otimização de custo de produção, que deve ser diretamente proporcional à área. Seja um cilindro reto de raio r {\textstyle r} , altura h {\textstyle h} e volume fixo V {\textstyle V} . A condição para que a área seja mínima é h = 2 r {\textstyle h=2r} . Inicialmente, o volume é dado por: V = π r 2 h {\displaystyle V=\pi r^{2}h} Em seguida, a área em função de r {\textstyle r} e V {\textstyle V} é: A = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + 2 V r {\displaystyle A=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+{\frac {2V}{r}}} Perceba que a função vai para o infinito positivo tanto quando o valor de r {\textstyle r} vai para ∞ {\textstyle \infty } quanto para 0 {\textstyle 0} . Logo, deve possuir um valor mínimo. O valor mínimo da função será um ponto crítico, quando a derivada for nula: A ( r ) = 2 π r 2 + 2 V r A ′ ( r ) = 4 π r − 2 V r 2 A ′ ( r ) = 0 ⇔ 4 π r = 2 V r 2 ⇔ V = 2 π r 3 {\displaystyle {\begin{aligned}A(r)&=2\pi r^{2}+{\frac {2V}{r}}\\A'(r)&=4\pi r-{\frac {2V}{r^{2}}}\\A'(r)&=0\Leftrightarrow 4\pi r={\frac {2V}{r^{2}}}\Leftrightarrow V=2\pi r^{3}\end{aligned}}} Igualando a equação volume-raio da área mínima com a equação inicial de volume: π r 2 h = 2 π r 3 {\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi r^{3}} Logo, h = 2 r {\displaystyle h=2r} Portanto, o cilindro reto de menor área dado um volume fixo é o cilindro equilátero, em que a altura é igual ao diâmetro da base. Tal otimização também é equivalente a maximizar o volume, dada uma área fixa.
