Cálculo variacional
O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero.
Um dos problemas típicos em cálculo diferencial é o de encontrar o valor de x {\displaystyle x} para o qual uma dada função f ( x ) {\displaystyle f(x)} alcança um valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variações, o problema em questão é encontrar uma função f ( x ) {\displaystyle f(x)} para a qual um funcional I [ f ] {\displaystyle I[f]} atinge um valor extremo. O funcional I [ f ] {\displaystyle I[f]} é composto por uma integral que depende de x {\displaystyle x} , da função f ( x ) {\displaystyle f(x)} e algumas de suas derivadas. Onde a função f ( x ) {\displaystyle f(x)} pertence a algum espaço de funções (espaço de Banach, espaço de Hilbert), e tanto ela como suas derivadas podem ter restrições. Esta fórmula integral pode ser mais complicada permitindo a x {\displaystyle x} ser um vetor, e portanto incluindo derivadas parciais para f {\displaystyle f} . Em casos mais simples, a resolução do problema pode ser reduzida a resolução da Equação de Euler na forma:
Problema Isoperimétrico
Qual é a área máxima que pode cercar-se com uma curva de comprimento especificado? Exemplo: Sejam dois pontos A = ( a , 0 ) , B = ( b , 0 ) {\displaystyle A=(a,0),B=(b,0)} sobre o eixo x, sendo a distância entre eles estabelecida. Ou seja, A B = l {\displaystyle AB=l} . O problema de haver uma curva que maximize a área entre ela e o eixo x seria: Haverá uma função f ( x ) {\displaystyle f(x)} de modo que,
Braquistócrona
O problema da curva braquistócrona remonta a Johann Bernoulli (1696). Se refere a encontrar uma curva no plano cartesiano que vá do ponto P = ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P=(x_{0},y_{0})} a origem de modo que um ponto material que desliza sem fricção sobre ela tarda o menor tempo possível em ir de P {\displaystyle P} a origem. Usando princípios de mecânica clássica o problema pode formular-se como, onde g é a gravidade e as restrições são, f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} , f ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle f(x_{0})=y_{0}} . Há de se notar que em x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} existe uma singularidade.
