Subespaço vetorial
Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.
A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma: Sejam ( V , F , ⊕ V , ⊗ V , + , × ) {\displaystyle (V,F,\oplus _{V},\otimes _{V},+,\times )\,} e ( W , F , ⊕ W , ⊗ W , + , × ) {\displaystyle (W,F,\oplus _{W},\otimes _{W},+,\times )\,} espaços vetoriais sobre o corpo ( F , + , × ) {\displaystyle (F,+,\times )\,} . Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer: Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por: usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio. De modo geral, quando se diz que ( V , F , ⊕ , ⊗ , + , × ) {\displaystyle (V,F,\oplus ,\otimes ,+,\times )\,} é um espaço vetorial e W ⊂ V {\displaystyle W\subset V\,} , presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que 0 V ∈ W {\displaystyle 0_{V}\in W\,} e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.
