Transformação linear

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Sejam V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K . {\displaystyle K.} Diz-se que uma função T : V → W {\displaystyle T:V\rightarrow {W}} é uma transformação linear se, para quaisquer u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in {V}} e α ∈ K , {\displaystyle \alpha \in {K},} valem as relações:

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Função linear é a função matemática que possui duas propriedades: f ( x + x ′ ) = f ( x ) + f ( x ′ ) ; {\displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');} f ( a x ) = a f ( x ) . {\displaystyle f(ax)=af(x).} Em suma: f ( a x + b x ′ ) = a f ( x ) + b f ( x ′ ) {\displaystyle f(ax+bx')=af(x)+bf(x')} As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

O núcleo de uma transformação linear T {\displaystyle T} de V {\displaystyle V} em W , {\displaystyle W,} denotado por ker ⁡ ( T ) , {\displaystyle \ker(T),} é o conjunto { v ∈ V | T ( v ) = 0 } , {\displaystyle \{v\in V\,|\,T(v)=0\},} em que 0 {\displaystyle 0} é o vetor nulo de W . {\displaystyle W.} Exemplo: O núcleo da função T {\displaystyle T} de K 3 {\displaystyle K^{3}} em K 3 {\displaystyle K^{3}} definida por T ( x , y , z ) = ( 2 x − z , 2 z + y , x + y + 3 z / 2 ) {\displaystyle T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)} é: ker ⁡ ( T ) = { ( x , y , z ) | x = z / 2 = − y / 4 } {\displaystyle \ker(T)=\left\{(x,y,z)\,|\,x=z/2=-y/4\right\}} O conjunto ker ⁡ ( T ) {\displaystyle \ker(T)} é um subespaço vetorial de V, pois se v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},v_{2}} ∈ ker ⁡ ( T ) {\displaystyle \ker(T)} e se α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} ∈ K , {\displaystyle K,} então T ( α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 T ( v 1 ) + α 2 T ( v 2 ) = 0 , {\displaystyle T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})=0,} ou seja, α 1 v 1 + α 2 v 2 {\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}} ∈ ker ⁡ ( T ) . {\displaystyle \ker(T).}

Sejam V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} espaços vetoriais sobre um corpo K . {\displaystyle K.} A imagem de uma transformação linear T {\displaystyle T} de V {\displaystyle V} em W {\displaystyle W} é o conjunto: Im ⁡ ( T ) = { f ( v ) | v ∈ V } {\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}} Sejam w 1 , w 2 {\displaystyle w_{1},w_{2}} dois elementos da imagem de T {\displaystyle T} e sejam α 1 , α 2 ∈ K . {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in K.} Então, como w 1 , w 2 {\displaystyle w_{1},w_{2}} estão na imagem de T , {\displaystyle T,} há vectores v 1 , v 2 ∈ V {\displaystyle v_{1},v_{2}\in V} tais que w 1 = T ( v 1 ) {\displaystyle w_{1}=T(v_{1})} e que w 2 = T ( v 2 ) , {\displaystyle w_{2}=T(v_{2}),} pelo que: α 1 w 1 + α 2 w 2 = α 1 T ( v 1 ) + α 2 T ( v 2 ) = T ( α 1 v 1 + α 2 v 2 ) ∈ I m ⁡ ( T ) {\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})=T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})\in \mathop {\mathrm {Im} } (T)} Logo, Im ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {Im} (T)} é um subespaço vetorial de W . {\displaystyle W.}

Sejam V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} espaços vetoriais sobre um corpo K , {\displaystyle K,} sendo V {\displaystyle V} de dimensão finita, e seja T {\displaystyle T} uma transformação linear de V {\displaystyle V} em W . {\displaystyle W.} Então dim ⁡ ( V ) = dim ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) + dim ⁡ ( Im ⁡ ( T ) ) . {\displaystyle \dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname {Im} (T)).} Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja n = dim ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) {\displaystyle n=\dim(\ker(T))} e seja { v 1 , v 2 , {\displaystyle \{v_{1},v_{2},} … , v n } {\displaystyle ,v_{n}\}} uma base de ker ⁡ ( T ) . {\displaystyle \ker(T).} Como ker ⁡ ( T ) {\displaystyle \ker(T)} é um subespaço de V , {\displaystyle V,} pode-se completar essa base até obtermos uma base de V . {\displaystyle V.} Sejam então w 1 , w 2 , {\displaystyle w_{1},w_{2},} … , w m {\displaystyle ,w_{m}} ∈ V {\displaystyle V} tais que { v 1 , v 2 , {\displaystyle \{v_{1},v_{2},} … , v n , w 1 , w 2 , {\displaystyle ,v_{n},w_{1},w_{2},} … , w m } {\displaystyle ,w_{m}\}} seja uma base de V ; {\displaystyle V;} em particular, dim ⁡ ( V ) = n + m . {\displaystyle \dim(V)=n+m.} Vai-se provar que { T ( w 1 ) , {\displaystyle \{T(w_{1}),} … , T ( w m ) } {\displaystyle ,T(w_{m})\}} é uma base de Im ( T ) , {\displaystyle (T),} de onde resultará que dim ⁡ ( Im ⁡ ( T ) ) = m = ( m + n ) − n = dim ⁡ ( V ) − dim ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) . {\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(T)).} Se w {\displaystyle w} ∈ Im ( T ) , {\displaystyle (T),} então w = T ( v ) {\displaystyle w=T(v)} para algum v {\displaystyle v} ∈ V {\displaystyle V} e v {\displaystyle v} pode ser escrito sob a forma v = α 1 v 1 + ⋯ α n v n + β 1 w 1 + ⋯ + β m w m , {\displaystyle v=\alpha _{1}v_{1}+\cdots \alpha _{n}v_{n}+\beta _{1}w_{1}+\cdots +\beta _{m}w_{m},} pelo que T ( v ) = β 1 T ( w 1 ) + ⋯ + β m T ( w m ) , {\displaystyle T(v)=\beta _{1}T(w_{1})+\cdots +\beta _{m}T(w_{m}),} visto que v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}} ∈ ker ⁡ ( T ) . {\displaystyle \ker(T).} Isto prova que { T ( w 1 ) , … , T ( w m ) } {\displaystyle \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{m})\}} gera Im ⁡ ( T ) . {\displaystyle \operatorname {Im} (T).} Por outro lado, os vetores T ( w 1 ) , T ( w 2 ) , … , T ( w m ) {\displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),\ldots ,T(w_{m})} são linearmente independentes, pois se α 1 , α 2 , … , α m {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}} ∈ K {\displaystyle K} forem tais que α 1 T ( w 1 ) + α 2 T ( w 2 ) + ⋯ + α m T ( w m ) = 0 , {\displaystyle \alpha _{1}T(w_{1})+\alpha _{2}T(w_{2})+\cdots +\alpha _{m}T(w_{m})=0,} então T ( α 1 w 1 + α 2 w 2 + ⋯ + α m w m ) = 0 ⇒ α 1 w 1 + α 2 w 2 + ⋯ + α m w m ∈ ker ⁡ ( T ) , {\displaystyle T{\bigl (}\alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\cdots +\alpha _{m}w_{m}{\bigr )}=0\Rightarrow \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\cdots +\alpha _{m}w_{m}\in \ker(T),} de onde resulta que α 1 w 1 + α 2 w 2 + … + α m w m {\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\ldots +\alpha _{m}w_{m}} é uma combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , … , v n , {\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},} o que é só é possível se α 1 = α 2 = … = α m = 0 , {\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{m}=0,} pois o conjunto { v 1 , v 2 , … , v n , w 1 , w 2 , … , w m } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}\}} é uma base e, portanto, linearmente independente.

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva. Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio. Se T {\displaystyle T} for um endomorfismo de um espaço vetorial V {\displaystyle V} de dimensão finita, então são condições equivalentes: É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se T {\displaystyle T} for sobrejetivo, então dim ⁡ ( V ) = dim ⁡ ( Im ⁡ ( T ) ) = dim ⁡ ( V ) − dim ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) , {\displaystyle \dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))=\dim(V)-\dim(\ker(T)),} pelo que dim ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) = 0 {\displaystyle \dim(\ker(T))=0} e, portanto, ker ⁡ ( T ) = { 0 } , {\displaystyle \ker(T)=\{0\},} pelo que T {\displaystyle T} é injetivo. Por outro lado, se T {\displaystyle T} for injetivo, então 0 = dim ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) = dim ⁡ ( V ) − dim ⁡ ( Im ⁡ ( T ) ) , {\displaystyle 0=\dim(\ker(T))=\dim(V)-\dim(\operatorname {Im} (T)),} pelo que dim ⁡ ( V ) = dim ⁡ ( Im ⁡ ( T ) ) {\displaystyle \dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))} e, portanto, V = Im ⁡ ( T ) , {\displaystyle V=\operatorname {Im} (T),} ou seja, T {\displaystyle T} é sobrejetivo.

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço R2 são bastante elucidativas:

Sejam V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} espaços vetoriais sobre o corpo K . {\displaystyle K.} Seja L ( V , W ) {\displaystyle L(V,W)} definido como o conjunto de todas transformações lineares de V {\displaystyle V} em W . {\displaystyle W.} Como funções, para quaisquer operadores T {\displaystyle T} e U {\displaystyle U} e qualquer escalar a , {\displaystyle a,} podemos definir T + U {\displaystyle T+U} e a T {\displaystyle aT} por: ( T + U ) ( v ) = T ( v ) + U ( v ) {\displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)} ( a T ) ( v ) = a T ( v ) {\displaystyle (aT)(v)=aT(v)} É imediato provar que T + U {\displaystyle T+U} e a T {\displaystyle aT} também são transformações lineares de V {\displaystyle V} em W , {\displaystyle W,} e que L ( V , W ) {\displaystyle L(V,W)} com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre K . {\displaystyle K.}

Seja V {\displaystyle V} um espaço vetorial sobre um corpo K . {\displaystyle K.} O espaço dual de V , {\displaystyle V,} representado por V ∗ , {\displaystyle V^{*},} é o espaço vetorial L ( V , K ) {\displaystyle L(V,K)} das transformações lineares de V {\displaystyle V} em K . {\displaystyle K.}