Raiz quadrada
Em matemática, a raiz quadrada de é um número positivo que, multiplicado por si próprio, iguala-se a . Todo número real não negativo possui uma única raiz quadrada não negativa, chamada de raiz quadrada principal, a qual é denotada pelo símbolo . Por exemplo, 3 é a raiz quadrada de 9, ou seja, , pois .
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As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y: A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; x {\displaystyle {\sqrt {x}}} é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois). Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado. Admita-se que x e a são reais, e que x 2 = a {\displaystyle x^{2}=a} , e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} . Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x2 não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} ou, de outra forma, que x = ± a {\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}}
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As dificuldades de computar raízes quadradas usando-se números romanos e a notação romana para frações levou Vitrúvio a declarar que extrair a raiz quadrada de 200 não pode ser feito por números . Irracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: an+1=1/(2+an) com a0=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2.
Calculadoras
As calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas, tais como o método de Newton (frequentemente com uma estimativa inicial igual a 1), para computar a raiz quadrada de um número real positivo. Ao computar raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo, pode-se explorar a identidade a = e ( ln a ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}}
Calculando a raiz quadrada manualmente
Por exemplo, calcularemos a raiz quadrada de 2. √2|1,41... -1 |2 4|28 1 100| 4| 1 -96 | 400 -281 Seguindo estes passos irás conseguir sem um professor:
Método babilônico
Um algoritmo frequentemente usado para aproximar n {\displaystyle {\sqrt {n}}} é conhecido como "método babilônico" (porque, especula-se, este era o método usado na Matemática Babilônica para calcular a raiz quadrada, e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação x 2 − n = 0 {\displaystyle x^{2}-n=0} Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir: Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição. Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam de muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão:
Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longa
Este método, apesar de muito mais lento que o método Babilônico, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raiz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito. Escreva o número em decimal e divida-o em pares de dígitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raiz quadrada final aparecerá acima do número original. Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756?
Equação de Pell
A equação de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros ímpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequência: Como 3 é menor que 9, a sequência para aqui. Como 4 subtrações foram efetuadas, então a resposta é 4 Ou seja, para calcular a parte inteira da raiz quadrada n de um número inteiro positivo m, pode ser usado o seguinte trecho de programa: Observe-se que se n é a raiz exata, o valor final de m é zero.
Encontrando raízes quadradas usando aritmética mental
A Equação de Pell é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares. Ex: Para obter 27 {\displaystyle {\sqrt {27}}} nós começamos com a seguinte sequência: 5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5. Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1 2 × 100 = 200 {\displaystyle 2\times 100=200} e 5 × 20 + 1 = 101 {\displaystyle 5\times 20+1=101} Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1 99 × 100 = 9900 {\displaystyle 99\times 100=9900} e 51 × 20 + 1 = 1021 {\displaystyle 51\times 20+1=1021}
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Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raiz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| < 1. Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada: x + i y = | x + i y | + x 2 ± i | x + i y | − x 2 {\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}} onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original. Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra z w = z w {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}} é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1:
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Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos A 2 = B {\displaystyle {\sqrt[{2}]{A}}=B} Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.
