Produto escalar
Em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real como resultado. É o produto interno padrão do espaço euclidiano.
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Geométrica
O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por ⋅ {\displaystyle \cdot } ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B. Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos. Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor. Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores: Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.
Algébrica
Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:
Projeção escalar
A projeção escalar de um vetor a em direção a um vetor b é dada por: a b = ‖ a ‖ cos θ {\displaystyle a_{b}=\|a\|\cos \theta } , onde θ {\displaystyle \theta } é o ângulo entre a e b. Em termos da definição geométrica do produto escalar, este pode ser reescrito como a b = a ⋅ b ^ {\displaystyle a_{b}=a\cdot {\widehat {b}}} , onde b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {b}}=b/\lVert b\rVert } é o vetor unitário na direção de b. O produto escalar é, portanto, caracterizado geometricamente por a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b a ‖ a ‖ {\displaystyle a\cdot b=a_{b}\lVert b\rVert =b_{a}\lVert a\rVert } .
Sejam A e B dois vetores com "n" linhas e 1 coluna, ou seja, de dimensões iguais. O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:
