Medida exterior de Lebesgue

Seja o conjunto elementar I = [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × … × [ a n , b n ] , a i ≤ b i {\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}} . Define-se o volume de I {\displaystyle I} como: É claro que qualquer subconjunto de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} está contido na união enumerável desses conjuntos, pois: Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto E ⊆ R n {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}} é definida como: O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem E {\displaystyle E} . A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , μ ∗ : P ( R n ) → R + ∪ { ∞ } {\displaystyle \mu ^{*}:P(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{\infty \}}

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.