Matriz definida

Nas definições a seguir, x T {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}} é a transposta de x , {\displaystyle \mathbf {x} ,} z ∗ {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}} é a conjugada transposta de z , {\displaystyle \mathbf {z} ,} e 0 {\displaystyle \mathbf {0} } denota o vetor nulo n-dimensional.

Decorre das definições acima que uma matriz hermitiana é positiva definida se e somente se ela é a matriz de uma forma quadrática positiva definida ou de uma forma hermitiana. As matrizes positivas definidas e positivas semidefinidas podem ser caracterizadas de muitas maneiras, o que pode explicar a importância do conceito em diversas partes da matemática. Uma matriz hermitiana M é positiva definida se e somente se satisfaz qualquer uma das seguintes condições equivalentes. Uma matriz é positiva semidefinida se satisfaz condições equivalentes semelhantes, em que, nas condições sobre congruência, autovalores e decomposição, "positivo" é substituído por "não negativo" e "matriz invertível" é substituído por "matriz". As matrizes reais positivas definidas e positivas semidefinidas estão na base da otimização convexa [en], pois, dada uma função de várias variáveis reais que seja duas vezes diferenciável, se sua matriz hessiana (matriz de suas derivadas parciais de segunda ordem) for positiva definida em um ponto p , {\displaystyle p,} então a função é convexa perto de p e, reciprocamente, se a função for convexa perto de p , {\displaystyle p,} então a matriz hessiana é positiva semidefinida em p . {\displaystyle p.}

z T I z = [ a b ] [ 1 0 0 1 ] [ a b ] = a 2 + b 2 . {\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}.} Vista como uma matriz complexa, para qualquer vetor coluna não nulo z com entradas complexas a e b, tem-se z ∗ I z = [ a ¯ b ¯ ] [ 1 0 0 1 ] [ a b ] = a ¯ a + b ¯ b = | a | 2 + | b | 2 . {\displaystyle \mathbf {z} ^{*}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\overline {a}}a+{\overline {b}}b=|a|^{2}+|b|^{2}.}

Seja M {\displaystyle M} uma matriz hermitiana n × n {\displaystyle n\times n} (isso inclui as matrizes simétricas reais). Todos os autovalores de M {\displaystyle M} são reais, e seus sinais caracterizam sua definitude: Seja P D P − 1 {\displaystyle PDP^{-1}} uma decomposição em autovalores [en] de M , {\displaystyle M,} em que P {\displaystyle P} é uma matriz complexa unitária cujas colunas formam uma base ortonormal de autovetores de M , {\displaystyle M,} e D {\displaystyle D} é uma matriz diagonal real cuja diagonal principal contém os autovalores correspondentes. A matriz M {\displaystyle M} pode ser vista como uma matriz diagonal D {\displaystyle D} reexpressa nas coordenadas da base (de autovetores) P . {\displaystyle P.} Dito de outro modo, aplicar M {\displaystyle M} a algum vetor z , {\displaystyle \mathbf {z} ,} obtendo M z , {\displaystyle M\mathbf {z} ,} é o mesmo que mudar a base para o sistema de coordenadas dos autovetores usando P − 1 , {\displaystyle P^{-1},} obtendo P − 1 z , {\displaystyle P^{-1}\mathbf {z} ,} aplicar a transformação de dilatação D {\displaystyle D} ao resultado, obtendo D P − 1 z , {\displaystyle DP^{-1}\mathbf {z} ,} e então voltar à base original usando P , {\displaystyle P,} obtendo P D P − 1 z . {\displaystyle PDP^{-1}\mathbf {z} .}

Seja M {\displaystyle M} uma matriz hermitiana n × n {\displaystyle n\times n} . M {\displaystyle M} é positiva semidefinida se e somente se pode ser decomposta como um produto M = B ∗ B {\displaystyle M=B^{*}B} de uma matriz B {\displaystyle B} por sua conjugada transposta. Quando M {\displaystyle M} é real, B {\displaystyle B} também pode ser real, e a decomposição pode ser escrita como M = B T B . {\displaystyle M=B^{\mathsf {T}}B.} M {\displaystyle M} é positiva definida se e somente se existe tal decomposição com B {\displaystyle B} invertível. De modo mais geral, M {\displaystyle M} é positiva semidefinida com posto k {\displaystyle k} se e somente se existe uma decomposição com uma matriz k × n {\displaystyle k\times n} B {\displaystyle B} de posto completo por linhas (isto é, de posto k {\displaystyle k} ). Além disso, para qualquer decomposição M = B ∗ B , {\displaystyle M=B^{*}B,} tem-se rank ⁡ ( M ) = rank ⁡ ( B ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B).}

Seja M {\displaystyle M} uma matriz hermitiana n × n {\displaystyle n\times n} . As seguintes propriedades são equivalentes a M {\displaystyle M} ser positiva definida: Uma matriz positiva semidefinida é positiva definida se e somente se ela é invertível. Uma matriz M {\displaystyle M} é negativa (semi)definida se e somente se − M {\displaystyle -M} é positiva (semi)definida.

A forma quadrática (pura) associada a uma matriz real n × n {\displaystyle n\times n} M {\displaystyle M} é a função Q : R n → R {\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } tal que Q ( x ) = x T M x {\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} } para todo x . {\displaystyle \mathbf {x} .} M {\displaystyle M} pode ser suposta simétrica substituindo-a por 1 2 ( M + M T ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right),} pois qualquer parte assimétrica é anulada no produto bilateral. Uma matriz simétrica M {\displaystyle M} é positiva definida se e somente se sua forma quadrática é uma função estritamente convexa. De modo mais geral, qualquer função quadrática de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} em R {\displaystyle \mathbb {R} } pode ser escrita como x T M x + b T x + c {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +c} em que M {\displaystyle M} é uma matriz simétrica n × n {\displaystyle n\times n} , b {\displaystyle \mathbf {b} } é um vetor real de dimensão n e c {\displaystyle c} é uma constante real. No caso n = 1 {\displaystyle n=1} , trata-se de uma parábola e, assim como no caso n = 1 {\displaystyle n=1} , tem-se

Uma matriz simétrica e outra matriz que seja ao mesmo tempo simétrica e positiva definida podem ser diagonalizadas simultaneamente. Isso ocorre embora a diagonalização simultânea não seja necessariamente realizada por meio de uma transformação de semelhança. Nesta seção, trata-se do caso real. Seja M {\displaystyle M} uma matriz simétrica e N {\displaystyle N} uma matriz simétrica e positiva definida. Escreva a equação generalizada de autovalores como ( M − λ N ) x = 0 {\displaystyle \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0} em que se impõe que x {\displaystyle \mathbf {x} } seja normalizado, isto é, x T N x = 1. {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} =1.} Agora, usa-se a decomposição de Cholesky para escrever a inversa de N {\displaystyle N} como Q T Q . {\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q.} Multiplicando por Q {\displaystyle Q} e fazendo x = Q T y , {\displaystyle \mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,} obtém-se Q ( M − λ N ) Q T y = 0 , {\displaystyle Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =0,} que pode ser reescrita como ( Q M Q T ) y = λ y {\displaystyle \left(QMQ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} } em que y T y = 1. {\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.} Manipulações adicionais fornecem então M X = N X Λ {\displaystyle MX=NX\Lambda } em que X {\displaystyle X} é uma matriz que tem como colunas os autovetores generalizados e Λ {\displaystyle \Lambda } é uma matriz diagonal dos autovalores generalizados. Agora, a pré-multiplicação por X T {\displaystyle X^{\mathsf {T}}} fornece o resultado final: X T M X = Λ {\displaystyle X^{\mathsf {T}}MX=\Lambda } e X T N X = I , {\displaystyle X^{\mathsf {T}}NX=I,} mas observe que essa já não é uma diagonalização ortogonal em relação ao produto interno em que y T y = 1. {\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.} Na verdade, diagonalizou-se M {\displaystyle M} em relação ao produto interno induzido por N . {\displaystyle N.}

Se M , N ≥ 0 , {\displaystyle M,N\geq 0,} embora M N {\displaystyle MN} não seja necessariamente positiva semidefinida, o produto de Hadamard o é, M ∘ N ≥ 0 {\displaystyle M\circ N\geq 0} (esse resultado é frequentemente chamado de teorema do produto de Schur [en]). Quanto ao produto de Hadamard de duas matrizes positivas semidefinidas M = ( m i j ) ≥ 0 , {\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,} N ≥ 0 , {\displaystyle N\geq 0,} há duas desigualdades notáveis: Se M , N ≥ 0 , {\displaystyle M,N\geq 0,} embora M N {\displaystyle MN} não seja necessariamente positiva semidefinida, o produto interno de Frobenius [en] satisfaz M : N ≥ 0 {\displaystyle M:N\geq 0} (Lancaster–Tismenetsky, The Theory of Matrices, p. 218). O conjunto das matrizes simétricas positivas semidefinidas é convexo. Isto é, se M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} são positivas semidefinidas, então, para qualquer α {\displaystyle \alpha } entre 0 e 1, α M + ( 1 − α ) N {\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N} também é positiva semidefinida. Para qualquer vetor x {\displaystyle \mathbf {x} } : x T ( α M + ( 1 − α ) N ) x = α x T M x + ( 1 − α ) x T N x ≥ 0. {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}

A definição de positiva definida pode ser generalizada designando como positiva definida qualquer matriz complexa M {\displaystyle M} (por exemplo, real não simétrica) tal que R e { z ∗ M z } > 0 {\displaystyle {\mathcal {R_{e}}}\left\{\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right\}>0} para todos os vetores complexos não nulos z , {\displaystyle \mathbf {z} ,} em que R e { c } {\displaystyle {\mathcal {R_{e}}}\{c\}} denota a parte real de um número complexo c . {\displaystyle c.} Somente a parte hermitiana 1 2 ( M + M ∗ ) {\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)} determina se a matriz é positiva definida, e ela é avaliada no sentido mais restrito acima. De modo semelhante, se x {\displaystyle \mathbf {x} } e M {\displaystyle M} são reais, tem-se x T M x > 0 {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0} para todos os vetores reais não nulos x {\displaystyle \mathbf {x} } se e somente se a parte simétrica 1 2 ( M + M T ) {\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)} é positiva definida no sentido mais restrito. É imediatamente claro que x T M x = ∑ i j x i M i j x j {\textstyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} =\sum _{ij}x_{i}M_{ij}x_{j}} é insensível à transposição de M . {\displaystyle M.}