Lógica matemática
A lógica matemática é uma subárea da matemática que explora as aplicações da lógica formal para a matemática. Basicamente, tem ligações fortes com matemática, os fundamentos da matemática e ciência da computação teórica. Os temas unificadores na lógica matemática incluem o estudo do poder expressivo de sistemas formais e o poder dedutivo de sistemas de prova matemática formal.
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O manual de lógica matemática divide a matemática contemporânea em quatro áreas: Cada área tem um foco distinto, apesar de ter várias técnicas e resultados comuns entre si. A divisão das referidas áreas e os limites que separam a lógica matemática de outros campos de estudo não são bem definidas. A teoria da incompletude de Gödel representa não só um marco na teoria da recursão e teoria da prova, mas também contribuiu para o teorema de Löb da teoria dos modelos. O método do forçamento ("forcing") é aplicada na teoria dos conjuntos, na teoria dos modelos, na teoria da recursão, assim como no estudos da matemática intuiticionística. O campo matemático conhecido como o da teoria das categorias usa muitos métodos axiomáticos formais nos quais se inclui o estudo da lógica categórica, mas essa teoria não é comumente considerada um sub-ramo da lógica. Por causa da sua aplicabilidade em diversos campos da lógica, matemáticos como Saunders Mac Lane propuseram usar a teoria das categorias como fundamentos da matemática, independentemente da teoria dos conjuntos. Essas fundamentações usam tópicos que em muito se parecem com modelos generalizados das teorias dos conjuntos, e empregam lógica clássica ou não-clássica.
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A lógica matemática surgiu em meados do século XIX como um sub-ramo da Matemática e independente do estudo tradicional da lógica (Ferreirós 2001, p. 443). Antes do seu surgimento independente, a lógica foi estudada com a retórica, através do silogismo e a filosofia. Na primeira metade do século XX houve uma explosão de resultados fundamentais, acompanhados por debates vigorosos sobre as bases da matemática. Os estudos sobre o raciocínio foram inicialmente desenvolvidos por filósofos como Parménides e Platão, mas foi Aristóteles quem o elaborou mais detalhadamente e definiu a lógica como se estuda hoje em dia (como se estudava até o século XIX). Para mostrar que os sofistas (mestres da retórica e da oratória) podiam enganar os cidadãos utilizando argumentos incorretos, Aristóteles estudou a estrutura lógica da argumentação. Revelando, assim, que alguns argumentos podem ser convincentes, embora não sejam corretos. A lógica, segundo Aristóteles, é um instrumento para atingir o conhecimento científico, baseando-se no silogismo.
História moderna
Teorias lógicas foram desenvolvidas em diversas culturas na história, China, Índia, Grécia e no mundo Islâmico. Na Europa do século XVIII, filósofos matemáticos, como Leibniz e Lambert tentaram representar as operações da lógica formal através de símbolos, de forma algébrica mas seus esforços e trabalhos permaneceram isolados e pouco reconhecidos.
Século XIX
Em meados do século XIX, George Boole e posteriormente Augustus De Morgan apresentaram tratamentos matemáticos sistemáticos. Seus trabalhos, alicerçados em trabalhos de algebristas como George Peacock, transformaram a doutrina tradicional de Aristóteles de forma que se encaixasse no estudo dos fundamentos da matemática (Katz 1998, p. 686). Charles Sanders Peirce construiu sobre os estudos de Boole almejando desenvolver uma sistema de relações lógica e quantificadores o qual ele publicou diversas vezes entre 1870 e 1885. Gottlob Frege apresentou um desenvolvimento independente da lógica com quantificadores no seu Begriffsschrift, publicado em 1879, um trabalho por muitos considerado como uma reviravolta na histórica da lógica. O trabalho de Frege permaneceu incerto, pelo menos até Bertrand Russell começar a promovê-lo no início da virada do século. As notações bidimensionais desenvolvidas por Frege nunca foram vastamente adotadas e caiu em desuso nos artigos e textos contemporâneos.
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Preocupações com a possível ausência de fundamentos matemáticos acarretaram o desenvolvimento de sistemas axiomáticos para áreas da matemática fundamental como a aritmética, análise e geometria. Em lógica o termo aritmético se refere à teoria dos números naturais. Giuseppe Peano (1889) publicou uma série de axiomas para serem usados pela aritmética que hoje carregam seu nome (Axiomas de Peano), usando variações do sistema lógico de Boole e Schröder, porém adicionando quantificadores. Peano não tinha conhecimento do trabalho de Frege. Contemporaneamente Richard Dedekind mostrou que os números naturais são unicamente caracterizados por suas propriedades da indução. Dedekind (1888) propôs a diferente caracterização na qual não existia a essência da lógica formal dos axiomas de Peano. Todavia, o trabalho de Dedekind's provou teoremas inacessíveis ao sistema desenvolvido por Peano, como por exemplo a inclusão da individualidade dos conjuntos de números naturais (até o isomorfismo) e as definições recursivas de adição e multiplicação da função sucessora e indução matemática.
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Proposições
As proposições são determinadas por sentenças declarativas, pertencentes a uma certa linguagem, que formam um conjunto de palavras ou símbolos e expressam uma ideia. As sentenças declarativas são afirmações que podem receber apenas dois valores, Verdadeiro ou Falso. As proposições devem seguir os seguintes princípios: Qualquer sentença que não puder receber a atribuição de verdadeira ou falsa não é uma proposição. Sentenças interrogativas, exclamativas e imperativas não são proposições, pois não é possível dizer se são verdadeiras ou falsas. Exemplos de sentenças que não são proposições:
Proposições compostas
Proposição composta é a união de proposições simples por meio de um conector lógico. Este conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão. Em expressões que utilizam vários operadores não é possível saber qual proposição deve-se resolver primeiro. Com isso, usar parênteses é fundamental. A expressão do exemplo poderia ficar assim: (P Λ Q) V R ou P Λ (Q V R). A tabela verdade é construída para determinar o valor lógico de uma proposição composta. Segue uma excelente estratégia para a construção desta. Exemplo de construção da tabela verdade da proposição composta: p Λ q Primeiramente verifica-se quantas “variáveis”, ou proposições simples que temos na proposição composta do exercício. Neste caso existem duas: p e q.
