Espaço normal

Imagem: Sylvio Bazote · BY-NC-SA · Openverse

Todo espaço topológico normal X {\displaystyle X} possui "muitas aplicações contínuas a valores reais". Esta afirmação pode ser formalizada pelo lema de Urysohn: Sejam A , B ⊂ X {\displaystyle A,B\subset X} dois subconjuntos fechados e disjuntos. Então existe f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f:X\rightarrow [0,1]} aplicação contínua tal que f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} , para todo x ∈ A {\displaystyle x\in A} e f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} , para todo x ∈ B {\displaystyle x\in B} . De forma mais geral, temos o lema da extensão de Tietze: Seja X {\displaystyle X} um espaço topológico normal. Se f : A → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f:A\rightarrow [0,1]} é uma aplicação contínua, onde A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} é fechado, então existe uma extensão contínua de f {\displaystyle f} com domínio em X {\displaystyle X} , isto é; existe F : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle F:X\rightarrow [0,1]} contínua tal que F ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F(x)=f(x)} , para todo x ∈ A {\displaystyle x\in A} .