Espaço paracompacto
Em matemática, em especial na análise funcional e topologia, um espaço paracompacto é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta admite um refinamento localmente finito.
Jean Dieudonné introduziu o conceito de paracompacidade em 1944, o que permitiu a generalização da noção de compacidade.
Definição 1: Um refinamento de uma cobertura de um espaço X é uma nova cobertura do mesmo espaço tal que cada conjunto da nova cobertura é um subconjunto de algum elemento da antiga cobertura. Simbolicamente, a cobertura V = { V β : β ∈ B } {\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}} é um refinamento da cobertura U = { U α : α ∈ A } {\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}} se, e somente se, para qualquer V β ∈ V {\displaystyle V_{\beta }\in V} , existe algum U α ∈ U {\displaystyle U_{\alpha }\in U} tal que V β {\displaystyle V_{\beta }} está contido em U α {\displaystyle U_{\alpha }} . Definição 2: Uma cobertura aberta de um espaço topológico ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} é localmente finita se todo ponto do espaço admite uma vizinhança aberta que intersecta apenas um número finito de elementos da cobertura. Simbolicamente, U = { U α : α ∈ A } {\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}} é localmente finito se, e somente se, ∀ x ∈ X {\displaystyle \forall x\in X} , existe uma vizinhança V ( x ) {\displaystyle V(x)} de x {\displaystyle x} tal que o conjunto:
A paracompacidade é semelhante à compacidade nos seguintes aspectos: A paracompacidade é diferente da compacidade nos seguintes aspectos:
