Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Em teoria das probabilidades e estatística, uma sequência ou outra coleção de variáveis aleatórias é independente e identicamente distribuída se cada variável aleatória tiver a mesma distribuição de probabilidade das outras e todas forem mutuamente independentes. Uma coleção de variáveis aleatórias apenas identicamente distribuídas é frequentemente abreviada como ID.
Considere que as variáveis aleatórias são definidas como assumindo valores em I ⊆ R {\displaystyle \mathbb {I} \subseteq \mathbb {R} } . Dizemos que duas variáveis aleatórias X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} são identicamente distribuídas se e somente se P [ x ≥ X ] = P [ x ≥ Y ] , ∀ x ∈ I {\displaystyle P[x\geq X]=P[x\geq Y],\,\forall x\in \mathbb {I} } . Dizemos que duas variáveis aleatórias X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} são independentes se e somente se P [ y ≥ Y ] = P [ y ≥ Y | x ≥ X ] ∧ P [ x ≥ X ] = P [ x ≥ X | y ≥ Y ] ∀ x , y ∈ I {\displaystyle P[y\geq Y]=P[y\geq Y|x\geq X]\land P[x\geq X]=P[x\geq X|y\geq Y]\,\forall x,y\in \mathbb {I} } .
Usos em modelagem
Seguem abaixo exemplos ou aplicações de variáveis aleatórias IID:
Muitos resultados que foram primeiramente provados sob o pressuposto de que as variáveis aleatórias são IID foram mostrados como verdadeiros mesmo sob um pressuposto distributivo mais fraco.
Variáveis aleatórias permutáveis
A noção mais geral que partilha das propriedades principais de variáveis IID é a de variáveis aleatórias permutáveis, introduzida por Bruno de Finetti. Permutabilidade significa que, ainda que as variáveis possam não ser independentes, variáveis futuras se comportam como variáveis passadas — formalmente, qualquer valor de uma sequência finita é tão provável quanto qualquer permutação daqueles valores — a distribuição de probabilidade conjunta é invariante sob o grupo simétrico. Isto oferece uma generalização útil — por exemplo, amostragem sem substituição não é independente, mas é permutável, sendo amplamente usada em estatística bayesiana.
Processo Lévy
Em cálculo estocástico, variáveis IID são pensadas como um processo Lévy de tempo discreto: cada variável dá quanto uma muda de um tempo a outro. Por exemplo, uma sequência de ensaios de Bernoulli é interpretada como o processo de Bernoulli. Pode-se generalizar isto para incluir processos Lévy de tempo contínuo e muitos processos Lévy podem ser vistos como limites de variáveis IID — por exemplo, o processo de Wiener é o limite do processo de Bernoulli.
O ruído branco é um exemplo simples de IID.
