Excursão browniana
Em teoria das probabilidades, uma excursão browniana é um processo estocástico intimamente relacionado com um processo de Wiener. Ocorrências de excursão browniana são essencialmente simples ocorrências de um processo de Wiener impelidas a satisfazer certas condições. Em particular, uma excursão browniana é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva. Excursões brownianas são importantes porque, dentre outras razões, surgem naturalmente como o processo limite de uma quantidade de teoremas centrais do limite funcionais condicionais.
Uma excursão browniana e {\displaystyle e} é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva. Outra representação de uma excursão browniana e {\displaystyle e} em termos de um movimento browniano W {\displaystyle W} (proposta por Paul Lévy e notada por Kiyoshi Itō e Henry P. McKean Jr.) se refere ao último tempo τ − {\displaystyle \tau _{-}} em que W {\displaystyle W} atinge zero antes do tempo 1 e o primeiro tempo τ + {\displaystyle \tau _{+}} em que W {\displaystyle W} atinge zero depois do tempo 1: Considere τ m {\displaystyle \tau _{m}} o tempo em que a ponte browniana W 0 {\displaystyle W_{0}} atinge seu mínimo em [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . Em 1979, Wim Vervat mostrou que:
A representação de Vervaat de uma excursão browniana tem várias consequências para diversas funções de e {\displaystyle e} . Em particular, o que também pode ser derivado por cálculos explícitos, e E os seguintes valores para o segundo momento e a variância podem ser calculados pela forma exata da distribuição e densidade: Em 1989, Piet Groeneboom deu uma expressão da transformada de Laplace da densidade de ∫ 0 1 e ( t ) d t {\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt} . Uma fórmula para uma certa transformada dupla da distribuição desta integral de área foi dada por Guy Louchard em 1984. Em 1983, Groeneboom e Jim Pitman deram decomposições do movimento browniano W {\displaystyle W} em termos de excursões brownianas independentes e identicamente distribuídas e do menor majorante côncavo (ou do maior minoraste convexo) de W {\displaystyle W} .
surge em conexão com a enumeração de grafos conectados, outros problemas em teoria combinatória, a distribuição limite de números de Betti de certas variedades em teoria da co-homologia. Em 1991, Lajos Takács mostrou que A + {\displaystyle A_{+}} tem densidade em que a j {\displaystyle a_{j}} são os zeros da função de Airy e U {\displaystyle U} é a função hipergeométrica confluente. Em 2007, Svante Janson e Guy Louchard mostraram que Os autores também deram expansões de ordem mais elevada em ambos os casos. Em 2007, Janson deu momentos de A + {\displaystyle A_{+}} e muitas outras funcionais de área. Em particular, Excursões brownianas também surgem em conexão com problemas de filas, tráfego ferroviário e alturas de árvores binárias aleatoriamente enraizadas.
