Caminho autoevitante
Em matemática, um caminho autoevitante é uma sequência de movimentos em um retículo que não visita o mesmo ponto mais de uma vez. Este é um caso especial da noção de caminho da teoria dos grafos. Um polígono autoevitante é um caminho autoevitante fechado em um retículo. O termo caminho autoevitante foi introduzido pelo químico Paul Flory, a fim de modelar o comportamento real de entidades de configuração em cadeia, tais como solventes e polímeros, cujos volumes físicos proíbem múltiplas ocupações do mesmo ponto espacial. Muito pouco é conhecido rigorosamente a respeito dos caminhos auto-evitantes a partir de uma perspectiva matemática, apesar de que físicos terem provido numerosas conjecturas que são acreditadas serem verdade e fortemente apoiadas por simulações matemáticas, e que existam diversas conjecturas que foram obtidas por meio de simulações computacionais.
Um dos fenômenos associados com caminhos autoevitantes e modelos estatísticos físicos bidimensionais em geral é a noção de universalidade, isto é, independência de observáveis macroscópicos a partir de detalhes microscópicos, assim como a escolha do retículo. Uma quantidade importante que aparece em conjecturas para leis universais é a constante conectiva, definida como segue: Seja c n {\displaystyle c_{n}} o número de caminhos autoevitantes de n passos. Uma vez que todo caminho autoevitante de (n+m) passos pode ser decomposto em um caminho autoevitante de n passos e um caminho autoevitante de m passos, segue que cn+m ≤ cncm. Portanto, a sequência {log( c n {\displaystyle c_{n}} )} é subaditiva e podemos aplicar o lema de Fekete para mostrar que o seguinte limite existe: Sendo μ a constante conectiva, uma vez que cn depende do retículo escolhido para o caminho, assim também é com μ. O valor exato para μ só é conhecido para o retículo hexagonal, onde é igual a :
Caminhos autoevitantes também têm sido estudados no contexto da análise de rede. Nesse contexto, é comum tratar caminhos autoevitantes como um processo dinâmico, de modo que a cada passo temporal um andarilho aleatoriamente salta entre nós vizinhos na rede. A caminhada acaba quando o andarilho atinge um estado sem saída, de modo que não pode mais avançar para nós vizinhos não visitados. Constatou-se recentemente que nas redes Erdős–Rényi, a distribuição do comprimento de caminho de tais caminhos autoevitantes com crescimento dinâmico podem ser calculados analiticamente, e segue a distribuição de Gompertz.
Considere a medida uniforme em um caminho autoevitante de n passos em todo o plano. Atualmente é desconhecido se o limite da medida uniforme quando n → ∞ induz uma medida em caminhos infinitos. Contudo, Harry Kesten tem mostrado que assim como uma medida existe para caminhos autoevitantes na metade do plano. Uma questão importante envolvendo caminhos autoevitantes é a existência e invariância conforme do limite de escala, isso é, o limite de tamanho do caminho vai para o infinito, e a malha do retículo vai para zero. Se conjectura que o limite de escala para caminhos autoevitantes seja descrito por uma evolução Schramm–Loewner com parâmetro κ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}8/3.
