Functor
Na matemática, especificamente na teoria das categorias, um functor (ou funtor) é um tipo de mapeamento entre categorias. Sua função é preservar a estrutura categórica, o que inclui domínios, contradomínios, identidades e composições. Isso é análogo ao que um homomorfismo faz em grupos, onde ele preserva o elemento neutro e a operação do grupo, mantendo a essência da estrutura original.
Pontos-chave
- Functor é um mapeamento entre categorias que preserva suas estruturas.
- Existem functores covariantes (preservam a direção dos morfismos) e contravariantes (invertem a direção).
- Bifunctores operam em produtos de categorias, lidando com múltiplos domínios.
- A categoria de categorias (Cat) tem categorias como objetos e functores como morfismos.
- O functor hom mapeia pares de objetos para o conjunto de morfismos entre eles.
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Um functor F de uma categoria C para uma categoria D, denotado F : C → D, é chamado de functor covariante. Ele mapeia objetos de C para objetos de D e morfismos de C para morfismos de D, preservando suas identidades e composições. Há também o functor contravariante G : C → D, que inverte a direção dos morfismos: para cada morfismo f : x → y em C, G(f) é um morfismo G(f) : F(y) → F(x) em D. Functores contravariantes de C para D correspondem a functores covariantes de Cop (a categoria oposta a C) para D. Por vezes, a atribuição x ↦ F(x) é dita 'functorial'.
Bifunctor: Functores de Múltiplas Variáveis
Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias, como B × C. Por exemplo, dado um bifunctor F : B × C → D e um objeto c ∈ C, podemos definir um functor parcial F(–, c) : B → D. Este functor mapeia um morfismo f : b → b' em B para F((b, c) → (f, 1c)(b', c)). De maneira similar, existe o functor F(b, –) : C → D, que fixa o objeto b de B e varia o objeto de C.
Categoria de Categorias e Functores
Para cada universo de Grothendieck U, existe a categoria U-Cat (ou simplesmente Cat), cujos objetos são as categorias que pertencem a U e cujos morfismos são os functores entre essas categorias. Um conceito relacionado é a categoria de functores DC, onde os objetos são os functores de C para D, e os morfismos são as transformações naturais entre esses functores, permitindo estudar as relações entre diferentes functores.
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Dada uma categoria C, o functor hom é um bifunctor hom : Cop × C → Set (onde Set é uma categoria de conjuntos suficientemente grande). Ele mapeia cada par de objetos (X, Y) de C para o conjunto hom(X, Y), que contém todos os morfismos de X para Y. Além disso, para morfismos f : X' → X e g : Y → Y' em C, o functor hom(f, g) é definido como a composição g ∘ - ∘ f, que é uma função que leva um morfismo k : X → Y para o morfismo g ∘ k ∘ f : X' → Y'.
