Número complexo

O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram a ser utilizados formalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de terceiro e quarto graus. Os primeiros que conseguiram dar soluções a equações cúbicas foram Scipione del Ferro e Tartaglia. Este último, depois de ter sido alvo de muita insistência, passou os resultados que tinha obtido a Girolamo Cardano, que prometeu não divulgá-los. Cardano, depois de conferir a exatidão das resoluções de Tartaglia, não honrou sua promessa e publicou os resultados, mencionando o autor, em sua obra Ars Magna de 1545, iniciando uma enorme inimizade. A fórmula deduzida por Tartaglia afirmava que a solução da equação x 3 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{3}+px+q=0} era dada por Um problema inquietante percebido na época foi que algumas equações (as equações que têm três raízes reais, chamadas de casus irreducibilis) levavam a raízes quadradas de números negativos.

O conjunto dos números complexos formam um corpo algebricamente fechado. Isso significa que toda equação algébrica de grau não nulo pode possuir como solução um número complexo. Mais formalmente, a seguinte equação Este resultado é conhecido como teorema fundamental da álgebra e foi demonstrado primeiramente pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss. Uma consequência deste teorema é que todo polinômio de grau n pode ser decomposto em um produto de n fatores lineares complexos:

O conjunto dos números complexos munido da distância dist ( z , w ) = | z − w | {\displaystyle {\hbox{dist}}\left(z,w\right)=|z-w|} forma um espaço métrico completo. De fato, o módulo possui todas as características de uma norma.

Outra forma de entendermos os números complexos é através de polinômios com coeficientes reais. Ao usarmos a identidade i 2 + 1 = 0 {\displaystyle i^{2}+1=0} para simplificarmos identidades algébricas, estamos efetivamente encontrando o maior fator de i 2 + 1 {\displaystyle i^{2}+1} na expressão e o substituindo por zero. Por exemplo, a expressão i 3 − i + 5 {\displaystyle i^{3}-i+5} pode ser escrita formalmente como ( i 2 + 1 ) i − 2 i + 5 {\displaystyle (i^{2}+1)i-2i+5} e, substituindo a identidade, encontramos i 3 − i + 5 = − 2 i + 5 {\displaystyle i^{3}-i+5=-2i+5} . Esse processo pode ser sistematizado da seguinte forma: dado um polinômio de coeficientes reais na variável x {\displaystyle x} (isso é, um elemento de R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} ), podemos dividi-lo por x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} e trabalharmos somente com o seu resto (que deve, pelas propriedades da Divisão polinomial) ter grau um, ou seja, ser da forma a + b x {\displaystyle a+bx} .

A representação gráfica de uma função com domínio e imagem no campo dos complexos é impraticável, pois tal função reside na quarta dimensão, ou seja, seria preciso um sistema de coordenadas com quatro eixos perpendiculares entre si para a construção da curva, a qual seria uma "superfície-2D" representada num "hiperespaço-4D". Todavia, existem diversas maneiras de se estudar o comportamento de tais funções sem sair de nosso espaço euclidiano de três dimensões. Uma delas, pouco usual, é representar uma função complexa, por exemplo f ( z ) = − z {\displaystyle f(z)=-z} , no próprio plano de Argand-Gauss, utilizando cores para representar o "jeito" da função. Este método denomina-se "Color Domain" ou Domínio de Cores. Temos então que para todo ponto do plano complexo está associada uma cor que corresponde à imagem da função neste ponto. Outra opção é representar apenas os valores da função que têm imagem real, como na figura da próxima seção. Esta secção da curva de uma função complexa irá resultar em uma nova curva unidimensional que está distribuída no espaço tridimensional. A representação dos valores reais da imagem da função complexa é interessante principalmente porque nos ajuda a compreender, por exemplo, as raízes complexas de um polinômio, como P ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle P(x)=x^{2}+1} , cujas raízes são i {\displaystyle i} e − i {\displaystyle -i} .