Espaço projetivo complexo
Em matemática, o espaço projetivo complexo é o espaço projetivo com respeito ao corpo dos números complexos. Por analogia, enquanto os pontos de um espaço projetivo real rotulam as retas que passam pela origem de um espaço euclidiano real, os pontos de um espaço projetivo complexo rotulam as retas complexas que passam pela origem de um espaço euclidiano complexo (veja abaixo para uma explicação intuitiva). Formalmente, um espaço projetivo complexo é o espaço de retas complexas que passam pela origem de um espaço vetorial complexo de dimensão (n+1). O espaço é denotado de várias formas como P(Cn+1), Pn(C) ou CPn. Quando n = 1, o espaço projetivo complexo CP1 é a esfera de Riemann, e quando n = 2, CP2 é o plano projetivo complexo (veja lá para uma discussão mais elementar).
A noção de plano projetivo surge da ideia de perspectiva na geometria e na arte: que às vezes é útil incluir no plano euclidiano uma linha "imaginária" adicional que representa o horizonte que um artista, pintando o plano, poderia ver. Seguindo cada direção a partir da origem, há um ponto diferente no horizonte, de modo que o horizonte pode ser pensado como o conjunto de todas as direções a partir da origem. O plano euclidiano, juntamente com seu horizonte, é chamado de plano projetivo real, e o horizonte é às vezes chamado de reta no infinito. Pela mesma construção, os espaços projetivos podem ser considerados em dimensões superiores. Por exemplo, o espaço projetivo real 3-dimensional é um espaço euclidiano juntamente com um plano no infinito que representa o horizonte que um artista (que, necessariamente, deve viver em quatro dimensões) veria. Estes espaços projetivos reais podem ser construídos de uma forma ligeiramente mais rigorosa da seguinte forma. Aqui, seja Rn+1 o espaço coordenado real de n+1 dimensões, e considere a paisagem a ser pintada como um hiperplano neste espaço. Suponha que o olho do artista seja a origem em Rn+1. Então, ao longo de cada reta que passa por seu olho, há um ponto da paisagem ou um ponto em seu horizonte. Assim, o espaço projetivo real é o espaço de retas que passam pela origem em Rn+1. Sem referência a coordenadas, este é o espaço de retas que passam pela origem em um espaço vetorial real de dimensão (n+1).
O espaço projetivo complexo é uma variedade complexa que pode ser descrita por n + 1 coordenadas complexas como onde as tuplas que diferem por um redimensionamento global são identificadas: Ou seja, estas são coordenadas homogêneas no sentido tradicional da geometria projetiva. O conjunto de pontos CPn é coberto pelas cartas U i = { Z ∣ Z i ≠ 0 } {\displaystyle U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}} . Em Ui, pode-se definir um sistema de coordenadas por As transições de coordenadas entre duas cartas diferentes Ui e Uj são funções holomorfas (na verdade, são transformações lineares fracionárias). Assim, CPn carrega a estrutura de uma variedade complexa de dimensão complexa n, e a fortiori a estrutura de uma variedade diferenciável real de dimensão real 2n. Pode-se também considerar CPn como um quociente da esfera 2n + 1 unitária em Cn+1 sob a ação de U(1): Isso ocorre porque toda reta em Cn+1 intersecta a esfera unitária em um círculo. Projetando primeiro para a esfera unitária e depois identificando sob a ação natural de U(1), obtém-se CPn. Para n = 1, esta construção produz o fibrado de Hopf clássico S 3 → S 2 {\displaystyle S^{3}\to S^{2}} . Desta perspectiva, a estrutura diferenciável em CPn é induzida pela de S2n+1, sendo o quociente desta última por um grupo compacto que atua propriamente.
A topologia de CPn é determinada indutivamente pela seguinte decomposição celular. Seja H um hiperplano fixo que passa pela origem em Cn+1. Sob o mapa de projeção Cn+1\{0} → CPn, H é levado a um subespaço homeomorfo a CPn−1. O complemento da imagem de H em CPn é homeomorfo a Cn. Assim, CPn surge pela anexação de uma 2n-célula a CPn−1: Alternativamente, se a 2n-célula for considerada como a bola unitária aberta em Cn, então o mapa de anexação é a fibração de Hopf da fronteira. Uma decomposição celular indutiva análoga é verdadeira para todos os espaços projetivos; veja (Besse 1978).
Decomposição CW
Uma maneira útil de construir os espaços projetivos complexos C P n {\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}} é através de uma construção recursiva usando CW-complexos. Lembre-se de que existe um homeomorfismo C P 1 ≅ S 2 {\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}} para a 2-esfera, dando o primeiro espaço. Podemos então induzir nas células para obter um mapa pushout S 3 ↪ D 4 ↓ ↓ C P 1 → C P 2 {\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}} onde D 4 {\displaystyle D^{4}} é a 4-bola, e S 3 → C P 1 {\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}} representa o gerador em π 3 ( S 2 ) {\displaystyle \pi _{3}(S^{2})} (portanto, é homotopicamente equivalente ao mapa de Hopf). Podemos então construir indutivamente os espaços como diagramas pushout S 2 n − 1 ↪ D 2 n ↓ ↓ C P n − 1 → C P n {\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}} onde S 2 n − 1 → C P n − 1 {\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}} representa um elemento em π 2 n − 1 ( C P n − 1 ) ≅ π 2 n − 1 ( S 2 n − 2 ) ≅ Z / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}} O isomorfismo dos grupos de homotopia é descrito abaixo, e o isomorfismo dos grupos de homotopia é um cálculo padrão na teoria da homotopia estável (que pode ser feito com a sequência espectral de Serre, o teorema da suspensão de Freudenthal e a torre de Postnikov). O mapa vem do fibrado S 1 ↪ S 2 n − 1 ↠ C P n − 1 {\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}} dando um mapa não contrátil, portanto representa o gerador em Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} . Caso contrário, haveria uma equivalência de homotopia C P n ≃ C P n − 1 × D n {\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}} , mas então seria homotopicamente equivalente a S 2 {\displaystyle S^{2}} , uma contradição que pode ser vista observando os grupos de homotopia do espaço.
Topologia conjuntista
O espaço projetivo complexo é compacto e conexo, sendo um quociente de um espaço compacto e conexo.
Grupos de homotopia
CPn é simplesmente conexo. Além disso, pela sequência exata longa de homotopia, o segundo grupo de homotopia é π2(CPn) ≅ Z, e todos os grupos de homotopia superiores concordam com os de S2n+1: πk(CPn) ≅ πk(S2n+1) para todo k > 2.
Homologia
Em geral, a topologia algébrica de CPn baseia-se no fato de os ranks dos grupos de homologia serem zero em dimensões ímpares; além disso, H2i(CPn, Z) é cíclico infinito para i = 0 a n. Portanto, os números de Betti são Ou seja, 0 em dimensões ímpares, 1 em dimensões pares de 0 a 2n. A característica de Euler de CPn é, portanto, n + 1. Pela dualidade de Poincaré, o mesmo é verdadeiro para os ranks dos grupos de cohomologia. No caso da cohomologia, pode-se ir mais longe e identificar a estrutura de anel graduado, para o produto cup; o gerador de H2(CPn, Z) é a classe associada a um hiperplano, e este é um gerador do anel, de modo que o anel é isomorfo a
K-teoria
Segue-se por indução e pela periodicidade de Bott que onde ϑ 1 {\displaystyle \vartheta ^{1}} denota o fibrado de linha trivial, a partir da sequência de Euler. A partir disso, as classes de Chern e os números característicos podem ser calculados explicitamente.
Espaço classificante
Existe um espaço C P ∞ {\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }} que, em certo sentido, é o limite indutivo de C P n {\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}} quando n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } . Ele é BU(1), o espaço classificante de U(1), o grupo circular, no sentido da teoria da homotopia, e portanto classifica fibrados de linha complexos. Equivalentemente, ele é responsável pela primeira classe de Chern. Isso pode ser visto heuristicamente observando os mapas do fibrado S 1 ↪ S 2 n + 1 ↠ C P n {\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}} e n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } . Isso fornece um fibrado (chamado de fibrado circular universal) S 1 ↪ S ∞ ↠ C P ∞ {\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }} construindo este espaço. Observe que, usando a longa sequência exata de grupos de homotopia, temos π 2 ( C P ∞ ) = π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})} , portanto C P ∞ {\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }} é um espaço de Eilenberg–MacLane, um K ( Z , 2 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)} . Por causa deste fato e do teorema da representabilidade de Brown, temos o seguinte isomorfismo H 2 ( X ; Z ) ≅ [ X , C P ∞ ] {\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]} para qualquer CW-complexo razoável X {\displaystyle X} . Além disso, pela teoria das classes de Chern, todo fibrado de linha complexo L → X {\displaystyle L\to X} pode ser representado como um pullback do fibrado de linha universal em C P ∞ {\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }} , o que significa que há um quadrado pullback L → L ↓ ↓ X → C P ∞ {\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}} onde L → C P ∞ {\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }} é o fibrado vetorial associado ao principal U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} -fibrado S ∞ → C P ∞ {\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }} . Veja, por exemplo, (Bott & Tu 1982) e (Milnor & Stasheff 1974).
A métrica natural em CPn é a métrica de Fubini–Study, e seu grupo de isometrias holomorfas é o grupo projetivo unitário PU(n+1), onde o estabilizador de um ponto é É um espaço simétrico Hermitiano (Kobayashi & Nomizu 1996), representado como um espaço quociente A simetria geodésica em um ponto p é a transformação unitária que fixa p e é a identidade negativa no complemento ortogonal da reta representada por p.
Geodésicas
Através de quaisquer dois pontos p, q no espaço projetivo complexo, passa uma única reta complexa (um CP1). Um círculo máximo desta reta complexa que contém p e q é uma geodésica para a métrica de Fubini–Study. Em particular, todas as geodésicas são fechadas (são círculos) e todas têm o mesmo comprimento. (Isso é sempre verdadeiro para espaços simétricos globais Riemannianos de posto 1.) O lugar de corte de qualquer ponto p é igual a um hiperplano CPn−1. Este é também o conjunto de pontos fixos da simetria geodésica em p (menos o próprio p). Veja (Besse 1978).
Pinçamento da curvatura seccional
Ele tem curvatura seccional variando de 1/4 a 1, e é a variedade mais redonda que não é uma esfera (ou coberta por uma esfera): pelo teorema da esfera 1/4-pinçada, qualquer variedade Riemanniana completa e simplesmente conexa com curvatura estritamente entre 1/4 e 1 é difeomorfa à esfera. O espaço projetivo complexo mostra que 1/4 é ótimo. Reciprocamente, se uma variedade Riemanniana completa e simplesmente conexa tem curvaturas seccionais no intervalo fechado [1/4,1], então ela é difeomorfa à esfera, isométrica ao espaço projetivo complexo, ao espaço projetivo quaterniônico, ou ao plano de Cayley F4/Spin(9); veja (Brendle & Schoen 2008).
Estrutura spin
Os espaços projetivos de dimensão ímpar podem ter uma estrutura spin, os de dimensão par não.
O espaço projetivo complexo é um caso especial de uma grassmanniana e é um espaço homogêneo para vários grupos de Lie. É uma variedade de Kähler com a métrica de Fubini–Study, que é essencialmente determinada por propriedades de simetria. Também desempenha um papel central na geometria algébrica; pelo teorema de Chow, qualquer subvariedade complexa compacta de CPn é o lugar de zeros de um número finito de polinômios e, portanto, é uma variedade algébrica projetiva. Veja (Griffiths & Harris 1994)
Topologia de Zariski
Em geometria algébrica, o espaço projetivo complexo pode ser equipado com outra topologia conhecida como topologia de Zariski (Hartshorne 1977, §II.2). Seja S = C[Z0,...,Zn] o anel comutativo de polinômios nas (n+1) variáveis Z0,...,Zn. Este anel é graduado pelo grau total de cada polinômio: Defina um subconjunto de CPn como fechado se for o conjunto de soluções simultâneas de uma coleção de polinômios homogêneos. Declarando os complementos dos conjuntos fechados como abertos, isso define uma topologia (a topologia de Zariski) em CPn.
Estrutura como esquema
Outra construção de CPn (e sua topologia de Zariski) é possível. Seja S+ ⊂ S o ideal gerado pelos polinômios homogêneos de grau positivo: Defina Proj S como o conjunto de todos os ideais primos homogêneos em S que não contêm S+. Chame um subconjunto de Proj S de fechado se tiver a forma para algum ideal I em S. Os complementos desses conjuntos fechados definem uma topologia em Proj S. O anel S, por localização em um ideal primo, determina um feixe de aneis locais em Proj S. O espaço Proj S, juntamente com sua topologia e feixe de anéis locais, é um esquema. O subconjunto de pontos fechados de Proj S é homeomorfo a CPn com sua topologia de Zariski. As seções locais do feixe são identificadas com as funções racionais de grau total zero em CPn.
Fibrados de linha
Todos os fibrados de linha no espaço projetivo complexo podem ser obtidos pela seguinte construção. Uma função f : Cn+1\{0} → C é chamada de homogênea de grau k se para todo λ ∈ C\{0} e z ∈ Cn+1\{0}. Mais geralmente, esta definição faz sentido em cones em Cn+1\{0}. Um conjunto V ⊂ Cn+1\{0} é chamado de cone se, sempre que v ∈ V, então λv ∈ V para todo λ ∈ C\{0}; ou seja, um subconjunto é um cone se contém a reta complexa que passa por cada um de seus pontos. Se U ⊂ CPn é um conjunto aberto (na topologia analítica ou na topologia de Zariski), seja V ⊂ Cn+1\{0} o cone sobre U: a pré-imagem de U sob a projeção Cn+1\{0} → CPn. Finalmente, para cada inteiro k, seja O(k)(U) o conjunto de funções que são homogêneas de grau k em V. Isso define um feixe de seções de um certo fibrado de linha, denotado por O(k).
