Equação de Lotka-Volterra
Na matemática, as equações de Lotka-Volterra são um par de equações diferenciais, não lineares e de primeira ordem, frequentemente utilizadas para descrever dinâmicas nos sistemas biológicos, especialmente quando duas espécies interagem: uma como presa e outra como predadora. Segundo Lütz (2011), modelos mais básicos para predador-presa de duas espécies são chamados de Lokta-Volterra, e consideram que a única fonte de alimento da espécie predadora é a população da presa e que não há competição alguma entre indivíduos da mesma espécie.
Estas mesmas equações foram propostas independentemente por dois estudiosos. O matemático Vito Volterra (1860-1940) desenvolveu em 1925 o modelo de equações ao tomar conhecimento do trabalho do zoologista Umberto d'Ancona, que analisou o crescimento da população de tubarões e o decréscimo da população dos demais peixes em um mar da Itália. O biofísico Alfred J. Lotka (1880-1949), no mesmo ano de 1925 estudou a interação predador-caça e publicou um livro chamado "Elements of Physical Biology" apresentando a mesma modelagem. Como ambos publicaram a mesma equação, o modelo foi chamado de Lotka-Volterra. Trata-se do primeiro modelo que tenta compreender a relação entre duas espécies (presa e predador). Diversos modelos podem utilizar esta fórmula como os que envolvem as relações entre o linces e a lebres, raposas e coelhos, joaninhas e pulgões, tubarões e peixes, etc.
Devido a essa relação de presa/predador, podemos ter as seguintes situações finais: Analisaremos as hipóteses consideradas acima para concluir a forma da equação, definindo antes: Se os predadores forem extintos, a população da presa cresce a uma taxa proporcional a população atual. A constante : α {\displaystyle \alpha } representa essa proporção, temos: Se as presas forem extintas, como o modelo considera que se trata do único alimento dos predadores, a população de predadores deve se extinguir também, a uma taxa proporcional a sua população atual. Sendo : γ {\displaystyle \gamma } a constante de proporcionalidade, temos: Os encontros entre presa e predador, que levam a morte de uma presa, é diretamente proporcional ao produto das suas populações. Entendendo melhor, se tivéssemos os indivíduos a e b da população de presas e c e d da população de predadores, os seus encontros seriam: Logo, o produto das duas populações. Como os encontros tentem a gerar morte da presa e alimentação do predador, temos alterações nas populações. No caso do modelo, temos duas constantes positivas de proporcionalidade envolvidas nesse produto, sendo que β {\displaystyle \beta } representa taxa de predação e δ {\displaystyle \delta } de conversão da caça em novos predadores. Temos:
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Vamos relacionar as equações e ter uma que contemple a relação entre as duas espécies:
Para compreender uma aplicação, iremos usar um exemplo. Supõe-se que exista um modelo que possa ser representado de tal forma que : β = γ = δ = α = 1 {\displaystyle \beta =\gamma =\delta =\alpha =1} Onde a constante C {\displaystyle C} depende das condições iniciais x 0 > 0 {\displaystyle x_{0}>0} e y 0 > 0 {\displaystyle y_{0}>0} , que são positivas por serem populações. Temos esboçado o plano de fases dessa equação ao lado para diversas condições iniciais: ele apresenta a periodicidade da variação do número de presas e predadores.
