Crescimento exponencial

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Uma quantidade y depende exponencialmente do tempo x em: y = x 0 . a x + b + c {\displaystyle y=x_{0}.a^{x+b}+c} "Movendo-se" graficamente na direção do eixo das ordenadas com variação em b {\displaystyle b} , e no eixo das abscissas com variação em c {\displaystyle c} . Para ser considerado crescimento exponencial, a {\displaystyle a} deve possuir valor maior do que 1, caso contrário será considerado Decaimento Exponencial. Note que o ponto de cruzamento com o eixo y {\displaystyle y} se dá em (0, X 0 + a {\displaystyle X_{0}+a} ), visto que, igualando x {\displaystyle x} a 0, a equação geral transmite que y = x 0 + c {\displaystyle y=x_{0}+c} A quantidade x depende exponencialmente do tempo t se onde a constante a é o valor inicial de x, a constante b é um fator de crescimento positivo, e τ é a constante de tempo necessária para x aumentar em um fator de b: Se τ > 0 e b > 1, então x cresce exponencialmente. Se τ < 0 e b > 1, ou τ > 0 e 0 < b < 1, então x expressa decaimento exponencial.

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2 x = y {\displaystyle 2^{x}=y} , onde com o aumento da variável de 1 em 1 unidade, temos um crescimento exponencial. y = a . ( 1 , 2 x ) {\displaystyle y=a.(1,2^{x})} , onde o valor 1,2 equivale a um crescimento de 20% em função da variável de tempo x {\displaystyle x} sobre a constante a {\displaystyle a} 1 = 1. ( 1 , 2 0 ) {\displaystyle 1=1.(1,2^{0})} 1 , 2 = 1. ( 1 , 2 1 ) {\displaystyle 1,2=1.(1,2^{1})} 1 , 44 = 1. ( 1 , 2 2 ) {\displaystyle 1,44=1.(1,2^{2})}

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Modelos exponenciais relativos a fenômenos físicos só podem se aplicar a regiões previamente delimitadas, já que um modelo com crescimento infinito não é fisicamente realístico. Para crescimentos como a população de um país, recomenda-se o uso de função logística, pois retrata o crescimento levando em conta fatores limitantes, como espaço, alimento, etc.

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A função exponencial x ( t ) = x ( 0 ) e k t {\displaystyle \scriptstyle x(t)=x(0)e^{kt}} satisfaz a função diferencial linear: ao dizermos que o crescimento da taxa de x em um tempo t é proporcional ao valor de x(t), e tem o valor inicial A equação diferencial é resolvida por integração direta:

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mostrando que x exibe crescimento exponencial.

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Ao plotarmos a função exponencial em um gráfico, notamos uma curva que rapidamente cresce e deixa de ser didática para números muito altos, perdendo precisão no eixo X, já que pontos próximos são atribuídos à valores muito distantes no eixo Y. Para contornar esse problema, há a possibilidade de, ao invés de se utilizar uma escala baseada em F ( x ) {\displaystyle F(x)} , que cresce exponencialmente, utilizar-se de uma escala baseada em L o g F ( x ) {\displaystyle Log{F(x)}} , que cresce linearmente, tornando a representação gráfica mais didática.(note que há possibilidade de utilizar-se dessa técnica em ambos os eixos, tornando assim o gráfico "loglog") Se a variável x exibe crescimento exponencial de acordo com x ( t ) = x 0 ( 1 + r ) t {\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}} , então o Log (à qualquer base) de x cresce linearmente com o tempo, como pode ser visto adicionando logaritmos aos dois lados da equação de crescimento exponencial:

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