Função logística
Uma função logística ou curva logística tem um formato de S comum, com equação:
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Na prática, devido à natureza da função exponencial e − x {\displaystyle {\rm {e}}^{-x}} , é frequentemente suficiente computar x {\displaystyle x} ao longo de um pequeno intervalo de números reais como [−6, +6].
Derivada
A função logística padrão ( k {\displaystyle k} =1, x 0 {\displaystyle x_{\rm {0}}} =0, L {\displaystyle L} =1) tem uma derivada fácil de se calcular: d d x f ( x ) = f ( x ) ⋅ ( 1 − f ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)\cdot (1-f(x)).\,} Ela também tem a propriedade segundo a qual 1 − f ( x ) = f ( − x ) . {\displaystyle 1-f(x)=f(-x).\,} Portanto, x ↦ f ( x ) − 1 / 2 {\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2} é uma função ímpar.
Função logística diferencial
A função logística é a solução de equações diferenciais não lineares de primeira ordem: d d x f ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))} com condição limite f ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle f(0)={\frac {1}{2}}} . Essa equação é a versão contínua do mapa logístico. O comportamento qualitativo é facilmente entendido em um diagrama que exibe esse tipo de comportamento: a derivada é nula quando a função é unitária, é positiva para f ∈ ] 0 , 1 [ {\displaystyle f\in {\mathopen {]0,1[}}} e negativa para f > 1 {\displaystyle f>1} ou f < 0 {\displaystyle f<0} . Isso produz um equilíbrio instável em 0 {\displaystyle 0} e um equilíbrio estável em 1 {\displaystyle 1} ; assim, para qualquer valor da função maior que 0 {\displaystyle 0} e menor que 1 {\displaystyle 1} , ela cresce para 1 {\displaystyle 1} .
A função logística pode ser usada para ilustrar o progresso da difusão de um inovação durante seu ciclo de vida. Historicamente, quando novos produtos são introduzidos, há uma intensa quantidade de pesquisa e desenvolvimento que leva a melhoras dramáticas em qualidade e redução do custo. Isso leva a um período de rápido crescimento industrial. Alguns dos exemplos mais famosos são: trilhos, lâmpadas incandescentes, energia elétrica, carros e transporte aéreo. Eventualmente, as oportunidades de melhorias dramáticas e de reduções de custo acabam, o produto ou processo tem seu uso amplamente disseminado com poucos novos clientes em potencial restantes, e os mercados se tornam saturados. A análise logística era usada em artigos científicos de diversos pesquisadores no Instituto Internacional de Análise de Sistemas Aplicados. Esses artigos lidam com a difusão de várias inovações, infraestruturas e substituições de fontes de energias com o papel do trabalho na economia e com o longo ciclo econômico. Longos ciclos econômicos eram investigados por Robert Ayres (1989). Cesare Marchetti publicou sobre longos ciclos econômicos e sobre a difusão de inovações. O livro de Arnulf Grübler (1990) dá grande atenção à difusão de infraestruturas, incluindo canais, trilhos, rodovias e linhas aéreas, demonstrando que a sua difusão seguia curvas com formato logístico.
Em ecologia: modelagem de crescimento da população
Uma aplicação típica da equação logística é o modelo comum do crescimento populacional, devido originalmente a Pierre-François Verhulst (1838), onde a taxa de reprodução é proporcional tanto à população existente quanto à quantidade de recursos disponíveis, todo o resto sendo constante. A equação de Verhulst foi publicada após Verhulst ter lido “Um ensaio sobre o princípio da população” de Thomas Malthus. Verhulst derivou a sua equação logística para descrever o crescimento auto-limitante de uma população biológica. A equação foi redescoberta em 1911 por A. G. McKendrick para o crescimento de bactérias em caldo e testada experimentalmente usando uma técnica para estimativa parametrial não linear. Por vezes, a equação é também chamada de equação de Verhulst-Pearl, por conta de sua redescoberta em 1920 por Raymond Pearl (1879–1940) e Lowell Reed (1888–1966) da Universidade Johns Hopkins. Outro cientista, Alfred J. Lotka, derivou a equação novamente em 1925, nomeando-a lei do crescimento populacional.
Em estatística e aprendizagem de máquinas
Funções logísticas são usadas para designar vários papéis em estatística. Por exemplo, eles são as funções de distribuição acumulativa da família logística de distribuições. Exemplos mais específicos são: Funções logísticas são usadas na regressão logística para modelar como a probabilidade p de um evento pode ser afetado por uma ou mais variáveis explicativas: um exemplo seria o modelo p = P ( a + b x ) {\displaystyle p=P(a+bx)\,} Onde x {\displaystyle x} é a variável explicativa e a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} são parâmetros modelos a serem encaixados. Regressões logísticas e outros modelos log-lineares são também comumente usados em aprendizado de máquinas. Uma generalização da função logística para múltiplas entradas é a ativação de função softmax, usada em regressões logísticas multinomiais.
Em medicina: modelagem de crescimento de tumores
Outra aplicação da curva logística é na medicina, onde a função logística diferencial é usada para modelar o crescimento de tumores. Essa aplicação pode ser considerada uma extensão do uso mencionado acima no campo de ecologia. Denotando com X ( t ) {\displaystyle X(t)} o tamanho do tumor no tempo t {\displaystyle t} , as suas dinâmicas são governadas por: X ′ = r ( 1 − X K ) X {\displaystyle X^{\prime }=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X} X ′ = F ( X ) X , F ′ ( X ) ≤ 0 {\displaystyle X^{\prime }=F\left(X\right)X,F^{\prime }(X)\leq 0} Onde F ( X ) {\displaystyle F(X)} é a taxa de proliferação do tumor. Se a quimioterapia é iniciada com um efeito 'log-kill', a equação pode ser revista como
Em química: modelos de reação
As concentrações de reagentes e produtos em reações autocatalíticas seguem a função logística.
Em física: distribuição de Fermi
A função logística determina a distribuição estatística de férmions dos estados de energia de um sistema em equilíbrio térmico. Em particular, isso é a distribuição das probabilidades que cada nível de energia possível é ocupado por um férmion, de acordo com a estatística de Fermi-Dirac.
Em linguística: mudança de linguagem
Em linguística, a função logística pode ser usada para modelar a mudança de linguagem: uma inovação que é inicialmente marginal começa a se espalhar mais rapidamente com o tempo e, então, mais lentamente, conforme é mais universalmente adotada.
