Distância euclidiana
Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras e, por isso, pode ser chamada de distância pitagórica. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.
A distância euclidiana entre os pontos P = ( p 1 , p 2 , … , p n ) {\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})} e Q = ( q 1 , q 2 , … , q n ) , {\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),} em um espaço euclidiano n-dimensional, é definida como: ( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 + ⋯ + ( p n − q n ) 2 = ∑ i = 1 n ( p i − q i ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.}
Distância unidimensional
Para pontos unidimensionais, P = ( p x ) {\displaystyle P=(p_{x})} e Q = ( q x ) , {\displaystyle Q=(q_{x}),} na reta real, a distância entre os dois é o módulo da diferença numérica entre suas coordenadas, isto é, a diferença absoluta. Assim, a distância é dada por: d ( p , q ) = | p − q | . {\displaystyle d(p,q)=|p-q|.} De outra forma, podemos obter o mesmo valor com: d ( p , q ) = ( p x − q x ) 2 . {\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}.} Nessa fórmula, elevar ao quadrado e tirar a raiz quadrada não altera os números positivos, mas substitui os negativos pelo valor absoluto.
Distância bidimensional
No plano cartesiano, para pontos bidimensionais, P = ( p x , p y ) {\displaystyle P=(p_{x},p_{y})} e Q = ( q x , q y ) , {\displaystyle Q=(q_{x},q_{y}),} a distância é computada como: d ( p , q ) = ( p x − q x ) 2 + ( p y − q y ) 2 . {\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.} Isso pode ser demonstrado aplicando-se o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo com a horizontal e a vertical como catetos e o segmento de P {\displaystyle P} a Q {\displaystyle Q} como a hipotenusa. Tanto ( p x − q x ) {\displaystyle (p_{x}-q_{x})} quanto ( p y − q y ) {\displaystyle (p_{y}-q_{y})} , ao serem elevadas ao quadrado, fornecem as áreas dos quadrados do cateto horizontal e do vertical. A raiz quadrada sobre os dois converte, então, a área do quadrado da hipotenusa para o comprimento da hipotenusa.
Distância tridimensional
Para pontos tridimensionais, P = ( p x , p y , p z ) {\displaystyle P=(p_{x},p_{y},p_{z})} e Q = ( q x , q y , q z ) , {\displaystyle Q=(q_{x},q_{y},q_{z}),} a distância é computada como: ( p x − q x ) 2 + ( p y − q y ) 2 + ( p z − q z ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.}
Distância n-dimensional
De forma geral, para pontos n-dimensionais, P = ( p 1 , p 2 , . . . , p n ) {\displaystyle P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})} e Q = ( q 1 , q 2 , . . . , q n ) , {\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},...,q_{n}),} a distância é computada como: ( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 + . . . + ( p n − q n ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.} A distância euclidiana também pode ser expressada de forma mais compacta em termos da norma euclidiana da diferença dos vetores euclidianos: d ( p , q ) = ‖ p − q ‖ . {\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}
O espaço euclidiano é o exemplo inicial da distância em um espaço métrico e obedece todas as propriedades de tal espaço:
A distância euclidiana é a distância em um espaço euclidiano. Ambos conceitos foram nomeados em homenagem ao matemático da Grécia Antiga Euclides, que escreveu os livros de Os Elementos, que se tornou o tratado da geometria por muitos séculos. Os conceitos de comprimento e distância foram disseminados por diversas culturas e podem ser datados, através de alguns documentos que sobreviveram até os dias de hoje, do quarto milénio a.C. na Suméria, muito antes de Euclides. Há ainda uma hipótese em que os conceitos de tempo e velocidade são introduzidos nas crianças após os conceitos de distância e espaço. Além disso, diversos conceitos geométricos foram caracterizados em termos de distâncias. Contudo, a noção de distância como um número ou uma medida definida entre dois pontos não aparece de fato no tratado de Os Elementos, Euclides aborda o conteúdo implicitamente, através da congruência de segmentos, da comparação entre comprimentos e da proporcionalidade.
