Corpo de números algébricos
Em matemática, um corpo de numéros algébricos F é uma extensão de corpos de grau finito do corpo Q dos números racionais. Assim, F é um corpo contendo Q que tem dimensão finita como espaço vetorial sobre Q.
Pré-requisitos
Um corpo de números algébricos é, em particular, um corpo. Um corpo consiste de um conjunto de elementos juntamente com duas operações, adição e multiplicação, satisfazendo certos axiomas como distributividade. O exemplo prototípico de corpo é o corpo dos números racionais, geralmente denotado Q, com as suas operações usuais de soma e produto. Outro conceito necessário para definir corpos de números algébricos é o de espaço vetorial. Para o que é necessário neste contexto, um espaço vetorial pode ser pensado como um conjunto de sequências (ou n-uplas) cujas entradas são elementos de um corpo fixado, tal como o corpo Q. Duas de tais sequências podem ser somadas por meio da adição termo a termo de suas entradas. Além disso, qualquer sequência pode ser multiplicada por um único elemento c do corpo fixado. Estas duas operações, conhecidas adição vetorial e multiplicação por escalar satisfazem um número de propriedades que servem para definir espaços vetoriais abstratamente. É permitido que espaços vetoriais tenham "dimensão infinita", isto é, que as sequências que formam os espaços vetoriais tenham comprimento infinito. Se, no entanto, o espaço vetorial consiste de sequências finitas
Definição
Um corpo de números algébricos (ou, simplesmente, corpo de números) é uma extensão de corpo de grau finito do corpo dos números racionais. Aqui, o grau da extensão é definido como a sua dimensão como espaço vetorial sobre Q.
Geralmente, em álgebra abstrata, uma extensão de corpo F / E é algébrica se cada elemento α do corpo maior F é o zero de algum polinômio com coeficientes em E. Isto é, se para todo α em F existe m inteiro e a0, ..., am em E tal que: É um fato que toda extensão de corpos de grau finito é algébrica (demonstração: para x em F basta considerar 1, x, x2, x3, ..., e tem-se um conjunto de vetores linearmente dependentes, isto é, e portanto um polinômio do qual x é uma raiz). Em particular, isto se aplica a corpos de números algébricos, de modo que qualquer elemento f de um corpo de números F pode ser considerado como um zero de um polinômio com coeficientes racionais. Portanto, os elementos de F também são chamados de números algébricos. Dado um polinômio p tal que p(α) = 0, pode-se fazer com que o coeficiente am do termo de maior grau seja igual a um, dividindo, se necessário, todos os coeficientes por este número. Um polinômio com essa propriedade é chamado de polinômio mônico. Em geral, ele terá coeficientes racionais. Se, no entanto, todos os seus coeficientes forem, na verdade, números inteiros, α é chamado de inteiro algébrico. Qualquer inteiro (usual) n ∈ Z é um inteiro algébrico, pois ele é o zero do seguinte polinômio linear mônico:
Fatoração única e número de classes
Em um domínio de Dedekind arbitrário, em particular em anéis de inteiros algébricos, vale a propriedade de fatoração única de ideais em um produto de ideais primos. Por exemplo, o ideal (6) em Z[√-5] fatora-se como o seguinte produto de ideais primos No entanto, ao contrário de Z como o anel de inteiros de Q, o anel de inteiros de uma extensão própria de Q não precisa admitir fatoração única em elementos primos. Isso já acontece para os inteiros quadráticos, por exemplo, em OQ(√-5) = Z[√-5], onde a unicidade da fatoração falha: Usando a norma pode ser mostrado que essas duas fatorações, na verdade, são não-equivalentes no sentido de que os fatores não diferem apenas por uma unidade de OQ(√-5). Domínios euclidianos são domínios de fatoração única; por exemplo Z[i], o anel dos inteiros de Gauss, e Z[ω], o anel dos inteiros de Eisenstein, em que ω é uma raiz cúbica da unidade (diferente de 1), têm esta propriedade.
Funções ζ, funções L e fórmula do número de classes
A falha da fatoração única é medida pelo número de classes, comumente denotado por h, que é a cardinalidade do grupo de classes de ideais. Este grupo é sempre finito. O anel de inteiros OF possui fatoração única se, e somente se, ele é um anel principal ou, equivalentemente, se F tem número de classes 1. Dado um corpo de números, o número de classes muitas vezes é difícil de calcular. O problema do número de classes, levantado por Gauss, diz respeito à existência de corpos de números quadráticos imaginários (isto é, Q(√−d, para d ≥ 1) com um número de classe prescrito. A fórmula do número de classes relaciona h a outros invariantes fundamentais de F. Ela envolve a função zeta de Dedekind ζF(s), uma função de uma variável complexa s, definida por
Base inteira
Uma base inteira para um corpo de números F de grau n é um conjunto de n inteiros algébricos em F tal que cada elemento do anel de inteiros OF de F pode ser escrito de forma única como uma combinação Z-linear de elementos de B; isto é, para qualquer x em OF tem-se onde os mi são números inteiros (ordinários). Então também ocorre que qualquer elemento de F pode ser escrito de forma única como onde agora os mi são números racionais. Os inteiros algébricos de F são, então, precisamente os elementos de F para os quais todos os mi são números inteiros. Trabalhando localmente e usando ferramentas tais como a mapa de Frobenius, é sempre possível calcular explicitamente uma tal base, e já é normal que sistemas algébricos computacionais tenham programas embutidos para fazer isso.
Base de potências
Seja F um corpo de números de grau n. Entre todas as possíveis bases de F (visto como um Q-espaço vetorial), há aquelas conhecidas como bases de potências, que são bases da forma para algum elemento x ∈ F. Pelo teorema do elemento primitivo, existe um x nestas condições, o qual é denominado elemento primitivo. Se x pode ser escolhido em OF e tal modo que Bx é uma base de OF como um Z-módulo então Bx é chamado de uma base de potências integral, e o corpo F é chamado de corpo monogênico. O primeiro exemplo de um corpo de números que não é monogênico foi dado por Dedekind. O seu exemplo é o do corpo obtido por adjunção de uma raiz do polinômio x3 − x2 − 2x − 8.
Usando a multiplicação de F, os elementos do corpo F podem ser representados por matrizes n-por-n Aqui e1, ..., en é uma base fixada de F, visto como um espaço Q-vetorial. Os números racionais aij são determinados unicamente por x e a escolha de uma base, uma vez que todo elemento de F pode ser unicamente representado como uma combinação linear dos elementos da base. Esta forma de associar uma matriz a qualquer elemento do corpo F é chamada de representação regular. A matriz quadrada A representa o efeito da multiplicação por x na base dada. Segue-se que se o elemento y de F é representado por uma matriz B, então o produto xy é representado pelo produto matricial BA. Invariantes de matrizes, tais como o traço, o determinante e o polinômio característico, dependem exclusivamente do elemento x do corpo e não da base. Em particular, o traço da matriz A(x) é chamado de traço do elemento x do corpo e é denotado por Tr(x), e o determinante é chamado de norma de x e é denotado por N(x).
Exemplo
Considere F = Q(x), onde x satisfaz f(x) = x3 − 11x2 + x + 1 = 0. Uma base inteira é [1, x, 1/2(x2 + 1)], e forma do traço integral correspondente é O "3" no canto superior esquerdo desta matriz é o traço da matriz da aplicação definida pelo primeiro elemento da base (1) na representação regular de F sobre Q. Este elemento da base induz a aplicação identidade no espaço vetorial F de dimensão 3. O traço da matriz identidade em um espaço vetorial é igual a sua dimensão sobre o corpo base. O determinante desta matriz é 1304 = 23·163, o discriminante do corpo. Compare com o discriminante do polinômio f, que é 5216 = 25·163.
