Coordenadas cilíndricas parabólicas
Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a . Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.
As coordenadas cilíndricas parabólicas ( σ , τ , z ) {\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)} são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z) por: As superfícies com σ {\displaystyle \sigma } constante formam cilindros parabólicos confocais de equações com concavidade voltada para a direção + y {\displaystyle +y} , ao passo que as superfícies com τ {\displaystyle \tau } constante formam cilindros parabólicos confocais de equações com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção − y {\displaystyle -y} . Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} . O raio r tem uma equação simples, a saber, que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.
Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas σ {\displaystyle \sigma } e τ {\displaystyle \tau } são: Outros operadores diferenciais tais como ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } e ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } podem ser expressos nas coordenadas ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau )} substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.
Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como: E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como: Uma vez que a equação em Z está separada dos outros termos, podemos escrever Onde m é constante. A solução para Z(z) é: Substituindo − m 2 {\displaystyle -m^{2}} por Z ¨ / Z {\displaystyle {\ddot {Z}}/Z} , a equação de Laplace agora pode ser escrita como: Ainda podemos separar as funções S e T e introduzir uma constante n 2 {\displaystyle n^{2}} para obter: As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:
As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.
