Coordenadas toroidais
As coordenadas toroidais formam um sistema de coordenadas ortogonal tridimensional. Elas são criadas ao girar um sistema de coordenadas bipolares em torno de um eixo que passa entre seus dois focos. Nesse processo, os focos do sistema bipolar se transformam em um anel no plano das coordenadas toroidais, e o eixo de rotação se torna o eixo principal do novo sistema.
Pontos-chave
- Coordenadas toroidais são um sistema ortogonal tridimensional.
- São geradas pela rotação de coordenadas bipolares em torno de um eixo.
- Os focos bipolares se tornam um anel no plano toroidais.
- A coordenada σ é um ângulo e a τ é um logaritmo de razão de distâncias.
A definição mais comum para as coordenadas toroidais (σ, τ, φ) estabelece que a coordenada σ de um ponto P é o ângulo formado pelos segmentos que ligam P aos dois focos (F₁ e F₂). Já a coordenada τ é o logaritmo natural da razão entre as distâncias desse ponto aos focos (d₁ e d₂).
Transformação para Cartesianas
Para obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) a partir das toroidais (σ, τ, φ), o ângulo azimutal φ é calculado diretamente. O raio cilíndrico ρ do ponto P é obtido pela fórmula . A distância do ponto P ao foco no plano definido por φ é dada por . Finalmente, a coordenada τ é o logaritmo natural das distâncias focais.
Fatores de Escala e Volume
Os fatores de escala para as coordenadas toroidais σ e τ são . Consequentemente, um elemento infinitesimal de volume nessas coordenadas é expresso por .
