Logaritmo natural

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Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples. Observando-se (ver exponenciação) que: a ( x + y ) = a x a y {\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}\ a^{y}} se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo u = a x , {\displaystyle u=a^{x},} multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma: u = a x , v = a y , u v = a ( x + y ) {\displaystyle u=a^{x},v=a^{y},u\ v=a^{(x+y)}} O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno ( x < 1 ) {\displaystyle (x<1)} , temos a x ≈ 1 + k x {\displaystyle a^{x}\approx 1+kx} sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k ≈ 0,7 e para a = 10, k ≈ 2,3.

Uma maneira de definir o logaritmo natural: ln ⁡ ( x ) : R + → R {\displaystyle \ln(x):\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} } é através da integral: ln ⁡ ( x ) := ∫ 1 x d t t {\displaystyle \ln(x):=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}} Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer: A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos: ln ⁡ ( a b ) = ∫ 1 a b d t t = ∫ 1 a d t t + ∫ a a b d t t {\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {dt}{t}}=\int _{1}^{a}{\frac {dt}{t}}+\int _{a}^{ab}{\frac {dt}{t}}} A primeira parcela desta soma é ln ⁡ ( a ) {\displaystyle \ln(a)} e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição: u = t / a , {\displaystyle u=t/a,} portanto: ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ∫ 1 b d u u {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\int _{1}^{b}{\frac {du}{u}}} segue que ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log10(x) e, em Computação, log(x) para log10(x) e lg(x) para log2(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log10(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para loge(x).

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa z {\displaystyle z} pela equação: ln ⁡ z = ln ⁡ r + i ( θ ± 2 k π ) {\displaystyle \ln z=\ln r+i(\theta \pm 2k\pi )} onde r {\displaystyle r} é o módulo e θ {\displaystyle \theta } é o argumento medido em radianos do número complexo z {\displaystyle z} ; k = ( 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle k=(1,2,3,\dots )} e ln {\displaystyle \ln } r {\displaystyle r} define o logaritmo natural real positivo de r . {\displaystyle r.} Assim, a função l n {\displaystyle ln} z {\displaystyle z} é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de l n {\displaystyle ln} z {\displaystyle z} o número definido por: ln ⁡ z = ln ⁡ r + i θ {\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta }

Dada a função: ∫ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C {\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C} esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja: ∫ ln ⁡ ( x ) d x = ∫ ( x ) ′ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − ∫ x ( ln ⁡ ( x ) ) ′ d x . {\displaystyle \int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x(\ln(x))'dx.}