Coordenadas parabólicas
As coordenadas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais bidimensional, onde as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional desse sistema é criada pela rotação do sistema bidimensional em torno do eixo de simetria de todas as parábolas. Este sistema é fundamental para descrever fenômenos com simetria parabólica.
Pontos-chave
- Sistema bidimensional de coordenadas ortogonais com parábolas confocais.
- Versão tridimensional obtida por rotação em torno do eixo de simetria.
- Focos das parábolas (bidimensional) e paraboloides (tridimensional) localizados na origem.
- Fatores de escala são cruciais para operadores diferenciais.
- Permitem descrever superfícies com concavidade para cima ou para baixo.
Imagem: THINK TANK · BY-SA · Openverse
As coordenadas parabólicas bidimensionais (σ, τ) são definidas por equações específicas. As curvas onde σ é constante formam parábolas confocais que se abrem para cima (no sentido +y), enquanto as curvas onde τ é constante formam parábolas confocais que se abrem para baixo (no sentido −y). É importante notar que os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem do sistema de coordenadas.
Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas (σ, τ) são grandezas que indicam como as distâncias infinitesimais são transformadas do sistema de coordenadas (σ, τ) para o sistema cartesiano. Esses fatores são essenciais para expressar operadores diferenciais, como o divergente (∇ ⋅ F) e o rotacional (∇ × F), nas coordenadas (σ, τ). Para isso, basta substituir os fatores de escala nas fórmulas gerais aplicáveis a sistemas de coordenadas ortogonais.
As coordenadas parabólicas bidimensionais servem de base para dois tipos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são geradas por projeção na direção z. Já a rotação do sistema bidimensional em torno do eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas também conhecido como 'coordenadas parabólicas'. Neste sistema, as parábolas estão alinhadas com o eixo z, sobre o qual a rotação foi realizada, e o ângulo azimutal (ϕ) é definido. As superfícies onde σ é constante formam paraboloides confocais com concavidade para cima (sentido +z), enquanto as superfícies com τ constante formam paraboloides confocais com concavidade para baixo (sentido −z). Os focos de todos esses paraboloides também se encontram na origem.
No sistema de coordenadas parabólicas tridimensionais, existem três fatores de escala. Curiosamente, os fatores de escala hσ e hτ são idênticos aos do caso bidimensional. O terceiro fator de escala está associado à coordenada azimutal (ϕ). Com esses fatores, é possível calcular o elemento infinitesimal de volume. Além disso, outros operadores diferenciais, como o divergente (∇ ⋅ F) e o rotacional (∇ × F), podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ, ϕ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.
Uma maneira alternativa de converter coordenadas cartesianas para parabólicas é através de uma transformação específica, cujo jacobiano é dado em termos infinitesimais, sob as condições de η ≥ 0 e ξ ≥ 0. Se φ = 0, obtém-se uma seção transversal, limitando as coordenadas ao plano xz. Neste plano, a equação η=c representa uma parábola com foco na origem, eixo de simetria vertical e concavidade para cima, para qualquer valor de c. Similarmente, a equação ξ=b representa uma parábola com foco na origem, eixo de simetria vertical e concavidade para baixo, para qualquer valor de b. Para encontrar a interseção entre uma parábola η=c (para cima) e uma parábola ξ=b (para baixo), cancelam-se fatores comuns, e descobre-se que a coordenada x é a média geométrica de b e c. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima, a coordenada y da interseção pode ser encontrada.
