Conjuntos bem separados
Em espaços métricos, a ideia de conjuntos bem separados é uma condição mais rigorosa do que simplesmente serem desconexos. Dois conjuntos não vazios são considerados bem separados se a distância mínima entre qualquer ponto de um conjunto e qualquer ponto do outro conjunto for estritamente maior que zero.
Pontos-chave
- Conjuntos bem separados exigem uma distância positiva entre eles.
- É uma condição mais forte que a de conjuntos desconexos.
- A distância entre conjuntos é definida como o ínfimo das distâncias entre seus pontos.
- Implica a existência de abertos disjuntos que os contêm.
- Aplica-se em espaços métricos (S, d).
Imagem: *Marina Almeida · BY · Openverse
Em um espaço métrico (S, d), a distância entre dois subconjuntos não vazios A e B de S é definida como o ínfimo (o maior limitante inferior) de todas as distâncias d(a, b), onde 'a' pertence a A e 'b' pertence a B. Se essa distância (dist(A, B)) for estritamente maior que zero, dizemos que A e B são conjuntos bem separados.
Imagem: Vitor Oliveira from Torres Vedras, PORTUGAL · BY-SA · Openverse
Se A e B são conjuntos bem separados em um espaço métrico (S, d), isso implica que eles são desconexos. Podemos construir conjuntos abertos disjuntos que contêm A e B, respectivamente. Para isso, seja δ = dist(A, B) / 2. Definimos O_A como a união de todas as bolas abertas B(x, δ) para cada x em A, e O_B como a união de todas as bolas abertas B(y, δ) para cada y em B. É evidente que O_A e O_B são disjuntos, e que A está contido em O_A, enquanto B está contido em O_B. Isso demonstra a desconexão.
