Cohomologia de feixes coerentes

Feixes coerentes são uma generalização de fibrados vetoriais, definidos em espaços analíticos complexos (feixes analíticos coerentes) ou esquemas (feixes algébricos coerentes). Eles são construídos a partir de um feixe de anéis 𝒪X e são subcategorias plenas de 𝒪X-módulos. Fibrados vetoriais, como o fibrado tangente, são cruciais em geometria. A imagem direta de um feixe vetorial em uma subvariedade fechada, quando estendida para o espaço maior, resulta em um feixe coerente. Diferentemente de fibrados vetoriais, feixes coerentes formam uma categoria abeliana, fechada sob operações como núcleos e imagens. Feixes quase-coerentes generalizam feixes coerentes em esquemas, incluindo aqueles de posto infinito.

Para um feixe ℱ de grupos abelianos em um espaço topológico X, os grupos de coomologia de feixes Hi(X,ℱ) são definidos como functores derivados à direita do funtor de seções globais. Isso implica que Hi(X,ℱ) é zero para i<0, e H0(X,ℱ) corresponde às seções globais ℱ(X). Sequências exatas curtas de feixes dão origem a sequências exatas longas de coomologia. Em esquemas, os grupos Hi(X,ℱ) para feixes de 𝒪X-módulos são módulos sobre o anel de funções regulares 𝒒(X). Se X é um esquema sobre um corpo k, os Hi(X,ℱ) são k-espaços vetoriais. A teoria se torna particularmente poderosa para feixes coerentes ou quase-coerentes.

Os teoremas A e B de Cartan (1953) revolucionaram a análise complexa ao mostrar que, para um feixe analítico coerente ℱ em um espaço de Stein X, ℱ é gerado por suas seções globais e Hi(X,ℱ)=0 para i>0. Espaços de Stein são aqueles isomorfos a subespaços analíticos fechados de ℂn. Em geometria algébrica, Serre introduziu feixes coerentes, e análogos dos teoremas de Cartan foram provados: para um feixe quase-coerente ℱ em um esquema afim X, ℱ é gerado por suas seções globais e Hi(X,ℱ)=0 para i>0. Isso decorre da equivalência entre a categoria de feixes quase-coerentes em X e a categoria de 𝒪(X)-módulos.

Como consequência do aniquilamento da coomologia em esquemas afins, para um esquema separado X com cobertura aberta afim {Ui} e um feixe quase-coerente ℱ, os grupos de coomologia H*(X,ℱ) são isomorfos aos grupos de coomologia de Čech relativos a {Ui}. Isso significa que as seções de ℱ em interseções finitas dos Ui determinam a coomologia de X. Essa técnica permite calcular a coomologia do espaço projetivo ℙn sobre um corpo k com coeficientes em qualquer fibrado de linha 𝒪(j). O resultado é que a coomologia H*(ℙn, 𝒪(j)) tem dimensão finita como k-espaço vetorial.

Para uma curva plana projetiva suave C de grau d, a coomologia H*(C, 𝒪C) pode ser calculada usando sequências exatas longas em coomologia. A imersão i: C → ℙ2 induz um isomorfismo em coomologia. Utilizando a sequência ideal para a imersão, a sequência exata longa em coomologia permite o cálculo. Assumindo que o anel base é ℂ, obtêm-se isomorfismos que mostram que H¹(C) é um espaço vetorial de dimensão finita.

O teorema de Künneth tem um análogo para a coomologia de feixes coerentes em produtos de variedades. Para esquemas quase-compactos X, Y e feixes coerentes ℱ em X e 𝒢 em Y, existe um isomorfismo para a coomologia do produto X × Y: Hk(X×Y, π₁*ℱ ⊗ π₂*𝒢) ≅ ⨁ᵢ₊ⱼ=k Hi(X, ℱ) ⊗ Hⱼ(Y, 𝒢). Isso é útil para calcular a coomologia de feixes em curvas, como visto no exemplo de X = ℙ¹ × ℙ¹.

Para um esquema próprio X sobre um corpo k e qualquer feixe coerente ℱ, os grupos de coomologia Hi(X,ℱ) têm dimensão finita como k-espaços vetoriais. Isso é provado reduzindo ao caso de fibrados de linha em espaços projetivos ou usando o lema de Chow. Na situação analítica, Cartan e Serre provaram a finitude dimensional para feixes coerentes em espaços complexos compactos usando operadores compactos. Para morfismos próprios f: X → Y, os feixes de imagem direta superior Rif*ℱ são coerentes, o que implica finitude dimensional quando Y é um ponto.

A dualidade de Serre é um análogo da dualidade de Poincaré para coomologia de feixes coerentes, onde o fibrado canônico KX atua como feixe de orientação. Para um esquema próprio suave X de dimensão n sobre k, existe um mapa traço Hn(X, KX) → k. A dualidade de Serre afirma que o produto Hⁱ(X, E) × Hⁿ⁻ⁱ(X, Kₓ ⊗ E*) é um emparelhamento perfeito, implicando que esses espaços vetoriais têm a mesma dimensão finita. Generalizações para qualquer feixe coerente e morfismo próprio são dadas pela teoria da dualidade de Grothendieck.

Os teoremas GAGA (Grothendieck, Generalizando Serre) estabelecem uma forte conexão entre variedades algébricas e os espaços analíticos complexos correspondentes. Para um esquema X de tipo finito sobre ℂ, o funtor de feixes algébricos coerentes para feixes analíticos coerentes em Xan é uma equivalência de categorias se X for próprio sobre ℂ. Além disso, para qualquer feixe algébrico coerente E em um esquema próprio X sobre ℂ, o mapa natural entre os espaços vetoriais complexos Hⁱ(X, E) (topologia de Zariski) e Hⁱ(Xan, E) (topologia euclidiana) é um isomorfismo. Isso implica, por exemplo, o teorema de Chow, que afirma que todo subespaço analítico fechado de ℂPⁿ é algébrico.

O teorema de aniquilamento de Serre afirma que, para um fibrado de linha amplo L em um esquema próprio X e um feixe coerente ℱ, existe um inteiro m₀ tal que ℱ⊗L⊗m é gerado por suas seções globais e tem coomologia nula em graus positivos para todo m ≥ m₀. O teorema de aniquilamento de Kodaira fornece um resultado explícito: para uma variedade projetiva suave X sobre um corpo de característica zero, L amplo e Kₓ o fibrado canônico, Hʲ(X, Kₓ ⊗ L⁻¹) = 0 para j > 0. Esses resultados são cruciais para a classificação de variedades algébricas, mas o teorema de Kodaira falha em corpos de característica positiva.