Cohomologia de De Rham
Na matemática, a coomologia de de Rham é uma ferramenta que pertence tanto à topologia algébrica quanto à topologia diferencial, capaz de expressar informações topológicas básicas sobre variedades suaves em uma forma particularmente adaptada à computação e à representação concreta de classes de coomologia. É uma teoria de coomologia baseada na existência de formas diferenciais com propriedades prescritas.
O complexo de de Rham é o complexo de cocadeias de formas diferenciais em alguma variedade suave M, com a derivada exterior como o diferencial: onde Ω0(M) é o espaço de funções suaves em M, Ω1(M) é o espaço de 1-formas, e assim por diante. Formas que são a imagem de outras formas sob a derivada exterior, mais a função constante 0 em Ω0(M), são chamadas de exatas e formas cuja derivada exterior é 0 são chamadas de fechadas (veja Formas diferenciais fechadas e exatas); a relação d2 = 0 então diz que formas exatas são fechadas. Em contrapartida, formas fechadas não são necessariamente exatas. Um caso ilustrativo é um círculo como uma variedade, e a 1-forma correspondente à derivada do ângulo a partir de um ponto de referência no seu centro, tipicamente escrita como dθ (descrita em Formas diferenciais fechadas e exatas). Não existe nenhuma função θ definida em todo o círculo tal que dθ seja sua derivada; o aumento de 2π ao dar uma volta completa no círculo na direção positiva implica uma função multivalorada θ. Remover um ponto do círculo contorna isso, ao mesmo tempo que altera a topologia da variedade.
Muitas vezes é possível encontrar as coomologias gerais de de Rham de uma variedade usando o fato acima sobre a coomologia zero e uma sequência de Mayer–Vietoris. Outro fato útil é que a coomologia de de Rham é um invariante de homotopia. Embora o cálculo detalhado não seja apresentado, a seguir estão as coomologias de de Rham computadas para alguns objetos topológicos comuns:
A n-esfera
Para a n-esfera, S n {\displaystyle S^{n}} , e também quando tomada em conjunto com um produto de intervalos abertos, temos o seguinte. Seja n > 0, m ≥ 0, e I um intervalo real aberto. Então
O n-toro
O n {\displaystyle n} -toro é o produto cartesiano: T n = S 1 × ⋯ × S 1 ⏟ n {\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}} . Da mesma forma, permitindo n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} aqui, obtemos Podemos também encontrar geradores explícitos para a coomologia de de Rham do toro diretamente usando formas diferenciais. Dada uma variedade quociente π : X → X / G {\displaystyle \pi :X\to X/G} e uma forma diferencial ω ∈ Ω k ( X ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)} , podemos dizer que ω {\displaystyle \omega } é G {\displaystyle G} -invariante se, dado qualquer difeomorfismo induzido por G {\displaystyle G} , ⋅ g : X → X {\displaystyle \cdot g:X\to X} , tivermos ( ⋅ g ) ∗ ( ω ) = ω {\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega } . Em particular, o pullback (recuo) de qualquer forma em X / G {\displaystyle X/G} é G {\displaystyle G} -invariante. Além disso, o pullback é um morfismo injetivo. Em nosso caso de R n / Z n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}} , as formas diferenciais d x i {\displaystyle dx_{i}} são Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} -invariantes, uma vez que d ( x i + k ) = d x i {\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}} . Contudo, note que x i + α {\displaystyle x_{i}+\alpha } para α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } não é uma 0 {\displaystyle 0} -forma invariante. Isso, juntamente com a injetividade, implica que
Espaço euclidiano perfurado
O espaço euclidiano perfurado é simplesmente R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} com a origem removida.
A faixa de Möbius
Podemos deduzir do fato de que a faixa de Möbius, M, pode sofrer uma retração por deformação para a 1-esfera (ou seja, o círculo unitário real), que:
O teorema de Stokes é uma expressão de dualidade entre a coomologia de de Rham e a homologia de cadeias. Ele afirma que o emparelhamento de formas diferenciais e cadeias, via integração, fornece um homomorfismo da coomologia de de Rham H d R k ( M ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)} para os grupos de coomologia singular H k ( M ; R ) . {\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).} O teorema de de Rham, provado por Georges de Rham em 1931, estabelece que para uma variedade suave M, este mapa é, de fato, um isomorfismo. definido da seguinte forma: para qualquer [ ω ] ∈ H d R p ( M ) {\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)} , seja I(ω) o elemento de Hom ( H p ( M ) , R ) ≃ H p ( M ; R ) {\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )} que atua como se segue: O teorema de de Rham assevera que este é um isomorfismo entre a coomologia de de Rham e a coomologia singular.
Para qualquer variedade suave M, seja R _ {\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}} o feixe constante em M associado ao grupo abeliano R {\textstyle \mathbb {R} } ; em outras palavras, R _ {\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}} é o feixe de funções localmente constantes de valor real em M. Então, temos um isomorfismo natural entre a coomologia de de Rham e a coomologia de feixes de R _ {\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}} . (Note que isso mostra que a coomologia de de Rham também pode ser calculada em termos da coomologia de Čech; de fato, como toda variedade suave é um espaço de Hausdorff paracompacto, temos que a coomologia de feixes é isomorfa à coomologia de Čech H ˇ ∗ ( U , R _ ) {\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})} para qualquer boa cobertura U {\textstyle {\mathcal {U}}} de M.)
Prova
A demonstração padrão prossegue mostrando que o complexo de de Rham, quando visto como um complexo de feixes, é uma resolução acíclica de R _ {\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}} . Em mais detalhes, seja m a dimensão de M e seja Ω k {\textstyle \Omega ^{k}} o feixe de germes de k {\displaystyle k} -formas em M (sendo Ω 0 {\textstyle \Omega ^{0}} o feixe de funções C ∞ {\textstyle C^{\infty }} em M). Pelo Lema de Poincaré, a seguinte sequência de feixes é exata (na categoria abeliana de feixes): Essa sequência exata longa agora se divide em sequências exatas curtas de feixes onde, pela exatidão, temos isomorfismos i m d k − 1 ≅ k e r d k {\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}} para todo k. Cada uma delas induz uma sequência exata longa na coomologia. Como o feixe Ω 0 {\textstyle \Omega ^{0}} de funções C ∞ {\textstyle C^{\infty }} em M admite partições da unidade, qualquer Ω 0 {\textstyle \Omega ^{0}} -módulo é um feixe fino; em particular, os feixes Ω k {\textstyle \Omega ^{k}} são todos finos. Portanto, os grupos de coomologia de feixes H i ( M , Ω k ) {\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})} se anulam para i > 0 {\textstyle i>0} , uma vez que todos os feixes finos em espaços paracompactos são acíclicos. Assim, as próprias sequências longas e exatas de coomologia se separam, em última análise, em uma cadeia de isomorfismos. Em uma extremidade da cadeia está a coomologia de feixes de R _ {\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}} e, na outra, encontra-se a coomologia de de Rham.
A coomologia de de Rham inspirou muitas ideias matemáticas, incluindo a Coomologia de Dolbeault, a teoria de Hodge e o Teorema do índice de Atiyah-Singer. No entanto, mesmo em contextos mais clássicos, o teorema tem inspirado uma série de desenvolvimentos. Primeiramente, a teoria de Hodge prova que existe um isomorfismo entre a coomologia consistente de formas harmônicas e a coomologia de de Rham consistente de formas fechadas módulo as formas exatas. Isso se baseia em uma definição apropriada de formas harmônicas e do teorema de Hodge. Para mais detalhes, veja Teoria de Hodge.
Formas harmônicas
Se M é uma variedade riemanniana compacta, então cada classe de equivalência em H d R k ( M ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)} contém exatamente uma forma harmônica. Ou seja, cada membro ω {\displaystyle \omega } de uma dada classe de equivalência de formas fechadas pode ser escrito como onde α {\displaystyle \alpha } é exata e γ {\displaystyle \gamma } é harmônica: Δ γ = 0 {\displaystyle \Delta \gamma =0} . Qualquer função harmônica em uma variedade riemanniana conexa e compacta é uma constante. Assim, esse elemento representante particular pode ser entendido como um extremo (um mínimo) de todas as formas coomologicamente equivalentes na variedade. Por exemplo, em um 2-toro, pode-se visualizar uma 1-forma constante como uma em que todos os "fios de cabelo" são penteados ordenadamente na mesma direção (e todos os "fios" têm o mesmo comprimento). Nesse caso, existem dois penteados coomologicamente distintos; todos os outros são combinações lineares. Em particular, isso implica que o 1º número de Betti de um 2-toro é dois. De forma mais geral, em um toro n {\displaystyle n} -dimensional T n {\displaystyle T^{n}} , pode-se considerar os vários penteados de k {\displaystyle k} -formas no toro. Existem n {\displaystyle n} escolhe k {\displaystyle k} tais penteados que podem ser usados para formar os vetores de base para H dR k ( T n ) {\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})} ; o k {\displaystyle k} -ésimo número de Betti para o grupo de coomologia de de Rham para o n {\displaystyle n} -toro é, assim, n {\displaystyle n} escolhe k {\displaystyle k} .
Decomposição de Hodge
Seja M {\displaystyle M} uma variedade riemanniana orientada e compacta. A decomposição de Hodge afirma que qualquer k {\displaystyle k} -forma em M {\displaystyle M} se divide unicamente na soma de três componentes de L2: onde α {\displaystyle \alpha } é exata, β {\displaystyle \beta } é coexata, e γ {\displaystyle \gamma } é harmônica. Diz-se que uma forma β {\displaystyle \beta } é cofechada se δ β = 0 {\displaystyle \delta \beta =0} e coexata se β = δ η {\displaystyle \beta =\delta \eta } para alguma forma η {\displaystyle \eta } , e que γ {\displaystyle \gamma } é harmônica se o Laplaciano for zero, Δ γ = 0 {\displaystyle \Delta \gamma =0} . Isso se deduz notando que formas exatas e coexatas são ortogonais; o complemento ortogonal consiste então de formas que são simultaneamente fechadas e cofechadas: isto é, de formas harmônicas. Aqui, a ortogonalidade é definida com respeito ao produto interno L2 em Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} :
