Classe de equivalência
Em matemática, dado um conjunto com uma relação de equivalência , a classe de equivalência de um elemento é o subconjunto de todos os elementos de que são equivalentes a .
Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X: X / ∼= { [ x ] | x ∈ X } {\displaystyle X/\sim =\{[x]\quad |\quad x\in X\}} Note que, como para cada elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} podemos associar um elemento de [ x ] ∈ X / ∼ {\displaystyle [x]\in X/\sim } , existe uma função natural de X → X / ∼ {\displaystyle X\rightarrow X/\sim } . Esta função é chamada de projeção canônica.
Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes? Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em [ 0 , 1 ] ∈ R {\displaystyle \left[0,1\right]\in \mathbb {R} \,} definida por x ∼ y ↔ x − y ∈ Q {\displaystyle x\sim y\leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} \,} , e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha. Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:
