Conjunto de Vitali

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Seja x ∼ y {\displaystyle x\sim y\,} a relação em [ 0 , 1 ] ⊂ R {\displaystyle \left[0,1\right]\subset \mathbb {R} \,} definida por x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q {\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} \,} . Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência. Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.

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Denote por V {\displaystyle V\,} um conjunto de Vitali e por μ ∗ {\displaystyle \mu ^{*}\,} a medida exterior de Lebesgue. Considere { r j } j = 1 ∞ {\displaystyle \{r_{j}\}_{j=1}^{\infty }\,} uma enumeração para [ − 1 , 1 ] ∩ Q {\displaystyle [-1,1]\cap \mathbb {Q} \,} e construa o conjunto: Da forma como foi construído o conjunto, temos: Então, se x ∈ V {\displaystyle x\in V\,} e r j ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle r_{j}\in [-1,1]\,} , vale x + r j ∈ [ − 1 , 2 ] {\displaystyle x+r_{j}\in [-1,2]\,} . Agora, seja x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]\,} . Então, existe y ∈ V {\displaystyle y\in V\,} tal que x ∼ y {\displaystyle x\sim y\,} , ou seja, x − y = r , r ∈ Q {\displaystyle x-y=r,\,r\in \mathbb {Q} \,} . Como x , y ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x,y\in [0,1]\,} , temos que r ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle r\in [-1,1]\,} e r = r j {\displaystyle r=r_{j}\,} para algum j {\displaystyle j\,} . Logo, x ∈ S {\displaystyle x\in S\,} .